452: משחק החיים של קונוויי
15.9.25
"משחק החיים", כשמו כן הוא: משחק, שעשוע שמרתק מיליוני חובבי מתמטיקה בכל רחבי העולם כבר מזה חמישים שנה. אבל מתחת לפני השטח, משחק החיים הוא הרבה יותר ממשחק - הוא דוגמא מרתקת לסוג של מכונות וירטואליות שמכונות 'אוטומטיים תאיים', שיכולות ללמד אותנו כמה דברים מרתקים במיוחד על העולם שלנו - כמו למשל על הסיבות למורכבות של מערכות כמו מזג אוויר, מושבות נמלים ואפילו ההתנהגות האנושית. ואם חוקרים כדוגמת סטיבן וולפרם וקונרד סוזה צודקים - הם אפילו יכולים להוביל אותנו אל תשובה לשאלה הגדולה מכולן: טבעו של היקום.
האזנה נעימה,
רן
הרשמה לרשימת תפוצה בדוא"ל | אפליקציית עושים היסטוריה (אנדרואיד) | iTunes
משחק החיים של קונווי
כתב: רן לוי
לומר שג'ון פון נוימן היה אדם מבריק - לא עושה לו חסד: למרות ששמו של המתמטיקאי אמריקאי לא מוכר בציבור הרחב כמו שמותיהם של איינשטיין וניוטון, למשל - הוא נחשב בעיני רבים לאחד המדענים הגדולים בהיסטוריה, ובטח במאה העשרים. לעבודתו של פון נוימן הייתה השפעה כבירה על מגוון רחב של תחומים: כלכלה, תורת המשחקים, סטטיסטיקה, פיזיקה, מדעי המחשב ועוד. המחשבים המודרניים, למשל, מבוססים על עקרונות הפעולה שהתווה פון נוימן בשנות הארבעים.
אחת מהשאלות הרבות שעניינו את פון נוימן היתה: האם ניתן לבנות מכונה המסוגלת לשכפל את עצמה? העניין שלו בסוגיה הזו נבע משיקולים מעשיים. אם ביום מן הימים ירצו בני האדם להתיישב בכוכבי לכת אחרים בגלקסיה, אחת האפשרויות לעשות כן תהיה לשלוח רובוטים שיכינו את הקרקע לבואם של בני האדם: ייכרו חומרי גלם, יתפילו מים, יבנו מפעלי תעשיה וכדומה. הדרך היעילה ביותר להביא המון רובוטים שכאלה לכוכב מרוחק, שיער פון נוימן, תהיה לשלוח לשם רובוט אחד, ושהוא ייצור עותקים חדשים של עצמו מחומרי גלם מקומיים.
כמובן שלבנות רובוט שכזה בפועל, ועוד עם הטכנולוגיה שהייתה זמינה לפון נוימן בשנות הארבעים, היתה משימה מאתגרת מאוד. לכן עמית שלו, מתמטיקאי בשם סטניסלב אוּלם, הציע לו פתרון חלופי: במקום לבנות את הרובוטים מחלקים פיזיים - להשתמש במודל מופשט שרק ידמה את תכונותיה של המכונה הפיזית. המודל שהציע אולם היה מבוסס על לוח משבצות - דומה ללוח המשחק של שחמט, למשל - שבו כל משבצת תדמה רכיב מסוים של הרובוט: למשל, זרוע רובוטית שיכולה להיות באחת מתוך שלוש זוויות, תהפוך למשבצת שיכולה להיות באחד מתוך שלושה מצבים. עם מודל מופשט שכזה יהיה קל יותר להבין ולנתח את המערכת המתוכננת.
ג'ון פון נוימן אהב את ההצעה של אולם ויישם אותה. הוא פיתח מודל שבו כל משבצת יכולה להיות באחד מתוך עשרים ותשעה מצבים אפשריים. הזמן במודל מתקדם באופן בדיד: ז"א, בקפיצות או ב'תורות'. בכל תור מצבה של כל משבצת נקבע על ידי כללים שלוקחים בחשבון את מצבה של המשבצת ושל ארבעת המשבצות המקיפות אותה - בתור הקודם. למשל, כלל בסגנון: 'אם המשבצת היא במצב מספר 3, וכל המשבצות שסביבה במצב מספר 5 - אז בתור הבא המשבצת תשנה את מצבה למצב מספר 20'. כללים כאלה יכולים לדמות תהליכי קבלת החלטות אצל הרובוט, כמו למשל - 'אם הזרוע נמצאת בזווית של 30 מעלות, והרובוט צריך להרים חפץ מהקרקע - הזרוע תשנה את מצבה לתשעים מעלות'.
כפי שאתם יכולים להבין מהתיאור הזה, התנהגותה של המכונה הוירטואלית שיצר פון נוימן היא אוטומטית לחלוטין: דהיינו, מהרגע שקבעת את תכונותיה של המכונה, ההתנהגות שלה נקבעת בצורה אוטומטית - ללא מעורבות אנושית - על סמך התכונות האלה, בשילוב מה שקורה סביבה בכל רגע נתון. זה מקור השם שנתנו פון נוימן וסטניסלב אולם למודל המשבצות שלהם: 'אוטומט תאי' (Cellular Automata).
הפשטות של האוטומט התאי - משבצות שיכולות להיות רק במצבים מסוימים וזמן שחולף בקפיצות - איפשרו לפון נוימן לנתח את הבעיה בכלים מתמטיים, והוא אכן הצליח להראות שאפשר, עקרונית, לבנות מכונה המסוגלת לשכפל את עצמה. לרוע המזל, פון נוימן הלך לעולמו בגיל 53 בלבד, לפני שהספיק לחקור לעומק את תכונותיהם ויתרונותיהם של אוטומטים תאיים, ורעיונותיו בתחום הזה לא זכו לאותה תהודה לה זכו תרומותיו האחרות של פון נוימן למדע ולטכנולוגיה.
ג'ון קונוויי
אחד המדענים הבודדים ששמעו על אוטומטים תאיים בשנים שלאחר מכן היה המתמטיקאי ג'ון הורטון קונוויי (Conway), שנתקל בעבודתו של פון נוימן בספר שקרא כנער. הרעיון של מכונה וירטואלית ואוטומטית לחלוטין שמסוגלת לבצע פעולות מתוחכמות כדוגמת שכפול עצמי סיקרן מאוד את קונווי, אבל הייתה לו תחושה שהאוטומט התאי של פון נוימן, על כל עשרים ותשעה המצבים שכל משבצת יכולה להיות בהם - היה מורכב מדי. הוא שאל את עצמו אם אפשר אולי לתכנן אוטומט תאי שיהיה פשוט יותר, ובכל זאת יוכל להפגין התנהגויות מורכבות ומעניינות.
קונוויי אימץ, אם כן, את המודל הבסיסי של פון נוימן - סריג משבצות דו-מימדי וזמן בדיד שמתקדם בתורות - בשינויים קלים: במקום עשרים ותשעה מצבים, כל משבצת יכולה לקבל רק שני מצבים - שחור או לבן, אחד או אפס - וכל משבצת מושפעת ממצבן של כל שמונת המשבצות שמקיפות אותה, במקום רק ארבע משבצות. כמו במודל של פון נוימן, המתכנן קובע אך ורק את הדפוס ההתחלתי של המשבצות - זאת אומרת, אלו משבצות יהיו שחורות ואלו לבנות - ומכאן ואילך השינוי במצבן של המשבצות נקבע באופן אוטומטי על ידי כללים קבועים.
האתגר המרכזי שניצב מול קונוויי היה לבחור את אותם כללים. עקרונית, יש מיליוני דרכים אפשריות שבהן מצבה הנוכחי של משבצת בשילוב מצבן של המשבצות הצמודות אליה יכולים לקבוע את המצב העתידי שלה - אבל כפי שגילה קונוויי עד מהרה, רוב הכללים מובילים להתנהגויות לא ממש מעניינות, כמו למשל כל המשבצות על הלוח הופכות ללבנות או שכולן הופכות לשחורות. לקונוויי לא היתה גישה למחשב, באותו הזמן, ולכן הוא נאלץ לבחון באופן ידני, בעזרת לוח משבצות וכלי משחק - אינספור כללים פוטנציאליים עד שלבסוף מצא את הכללים שחיפש. ואלו הם:
הראשון: אם למשבצת שחורה יש פחות משני שכנים שחורים - היא 'מתה מבדידות', ז"א הופכת ללבנה. אם יש לה יותר משלושה שכנים שחורים - היא 'מתה מצפיפות.'
והשני: משבצת תהפוך לשחורה - ז"א, "תיוולד" - אם יש לה בדיוק שלושה שכנים שחורים.
שני הכללים הפשוטים האלה, גילה קונוויי, מפיקים התנהגות מרתקת ובלתי צפויה. למשל, אם מחילים את הכללים הללו על דפוס התחלתי של חמש משבצות שחורות שמסודרות בצורה מסוימת, הדפוס הזה מתחיל "לזוז" על לוח המשבצות במהירות של תא אחד בכל ארבעה תורות: זאת אומרת, אחרי ארבעה תורות, נקבל את אותו הדפוס כשהוא מוזז תא אחד ימינה ולמטה - והדפוס הזה ימשיך לנוע באותו הכיוון לנצח, כל עוד אין משהו שיפריע לו בדרך. קונוויי קרא לדפוס הזה "גליידר" - אם כי בדיעבד, סיפר, כנראה שהיה נכון יותר לקרוא לו "נמלה", מכיוון שהוא מזכיר מאוד נמלה שהולכת על הלוח.
הגליידר הוא רק אחד מתוך סדרה של "יצורים", אם אפשר לכנות אותם כך, שנוצרו באוטומט התאי באופן ספונטני מתוך דפוסי ההתחלה שניסה קונווי. היו יצורים שמהרגע שנולדו לא זזו ממקומם - קצת כמו צמחים. יצורים אחרים שינו את צורתם באופן מחזורי, כמו למשל ה"בלינקר", ה"קרפדה" וה"פולסר", ויצורים אחרים שכמו הגליידר היו מסוגלים לנוע על הלוח בכיוונים ומהירויות שונות: קונוויי כינה את היצורים האלה בשם הכולל 'חלליות'.
המילים שבהן השתמשתי כדי לתאר את הדפוסים שהופיעו באוטומט התאי - "יצורים", "נמלה", "צמחים" וכדומה - יכולות להסביר לכם מדוע החליט קונוויי לקרוא למודל שלו בשם 'משחק החיים' (Game Of Life). למרות שברור שכל הדפוסים האלה נוצרים באופן מכניסטי לחלוטין מתוך שני הכללים הפשוטים ששולטים בהתנהגותו של האוטומט התאי, מפתה מאוד לחשוב עליהם כעל מעין יצורים חיים ש'נולדים', 'זזים' ו'מתים' בעולם המשבצות הוירטואלי שלהם.
באותה התקופה קונוויי נהג להתכתב עם מתמטיקאי אחר בשם מרטין גרנדר, שחלק עימו את החיבה לחידות ומשחקים מתמטיים. לגרדנר היה טור קבוע ומצליח מאוד במגזין ותיק בשם 'סיינטיפיק אמריקן', שבו שיתף את קוראיו במשחקים וחידות שכאלה. קונוויי סיפר לגרדנר על משחק החיים החדש שלו, וגרדנר התלהב מהרעיון ופירסם אותו בגיליון של אוקטובר 1970.
אף אחד משניהם לא חזה את התגובה הנלהבת של קהל הקוראים למשחק החיים. כל מתמטיקאי יספר לכם שחובבי מתמטיקה נמשכים לרעיונות אסתטיים ואלגנטיים, ויש משהו מקסים ואלגנטי מאוד ברעיון של שני כללים פשוטים שאם מפעילים אותם שוב ושוב ושוב על דפוס פשוט של משבצות שחורות ולבנות - יוצרים עולם וירטואלי עשיר ומורכב של יצורים בעלי תכונות שונות ומשונות. משחק החיים הסעיר את דמיונם של אלפי חובבי מתמטיקה בכל רחבי העולם, ומרטין גרדנר קיבל יותר מכתבי קוראים על משחק החיים מאשר קיבלו כל מאמר או טור כלשהו בכל מאה ומשהו שנות קיומו של סיינטיפיק אמריקן.
בתוך שנים ספורות נוצרה קהילה גדולה ותוססת של שחקנים שהחלו לחקור את העולם המופלא של משחק החיים בעזרת המחשבים האישיים שהחלו להופיע בשנות השבעים, ושיתפו זה את זה בתגליות שלהם בכנסים ומגזינים של הקהילה. מכיוון שקל מאוד ליישם בתוכנה את שני הכללים הבסיסיים של משחק החיים - אפילו מתכנת מתחיל יכול לכתוב תוכנה שכזו בקלות יחסית - השחקנים יכלו לנסות אלפי דפוסי התחלה שונים ומשונים ולבחון את הצורות והדפוסים שיתפתחו מהם. התוצאה הייתה שטף של צורות מעניינות ודפוסים חדשים - שאחד מהם הוביל למה שהיא כנראה אחת מהתגליות המפתיעות והמרתקות לגבי משחק החיים.
שלמות-טיורינג
בטור שהציג את משחק החיים, ג'ון קונוויי הציב אתגר לקוראיו של המגזין: מי שיצליח למצוא דרך להפיק אינסוף יצורים חדשים בעולם המשחק, יזכה בלא פחות ה…חמישים דולר. כן, מסתבר שיש תחומים שיש בהם אפילו פחות כסף מבפודקאסטים. קונוויי שיער שאין דרך כזו - אבל להפתעתו, בתוך פחות מחודשיים הצליח סטודנט בשם ביל גוספר (Gosper) למצוא דפוס משבצות התחלתי שפולט גליידר חדש כל שלושים תורות, יצור שקיבל את השם 'רובה גליידרים', או Gosper Gun, על שם מגלהו.
קונוויי גילה שבעזרת רובה הגליידרים אפשר ליצור במשחק החיים דפוס שמחקה את פעולתו של רכיב אלקטרוני בשם 'שער לוגי'. לא אכנס כרגע להסבר של מהו שער לוגי ואיך אפשר ליצור אותו בתוך משחק החיים - אבל הפרט החשוב לענייננו הוא ששערים לוגיים הם הרכיבים הבסיסיים שמהם עשויים המחשבים שלנו: למשל, מעבד של מחשב הוא לא יותר מאשר מיליארדי שערים לוגיים שמחוברים זה לזה בדרכים שונות. העובדה שניתן לחקות או לדמות את פעולתם של שערים לוגיים בתוך משחק החיים, פירושה שאפשר - לפחות בתיאוריה - לבנות בתוך משחק החיים מחשב וירטואלי שלם. ואכן, בשנת 2000 הצליח חובב משחק בשם פול רנדל לבנות מחשב שכזה בפועל בתוך משחק החיים: שלושים ושישה אלף תאים שיחד דימו את פעולתם של מעבד, זיכרון, ערוצי תקשורת וכדומה. מישהו אפילו הצליח ליצור תוכנה למחשב הוירטואלי הזה שמריצה את…משחק החיים: כן, משחק החיים שרץ בתוך משחק החיים.
המחשב הוירטואלי שיצר רנדל, למרות שהוא מגניב ברמות, הוא כמובן לא ממש מעשי בתור מכונת חישוב אמיתית: כל מחזור פעולה שלו דורש משהו כמו אחד עשר אלף תורות של המשחק. אבל זו לא הנקודה: חשיבותו האמיתית של ההישג הזה היא שמדובר בהוכחה מעשית לכך שמשחק החיים הוא מה שמכונה 'שלם טיורינג' (Turing Complete). מבלי להיכנס לדקויות של ההגדרה הפורמלית של התכונה הזו, אפשר לומר שהמשמעות שלה היא שההתנהגות שמפגין משחק החיים היא מורכבת מספיק כדי שניתן יהיה לבצע בעזרתו כל חישוב שהמחשבים הרגילים שלנו מסוגלים לבצע.
וזו עובדה מפתיעה. משחק החיים מציית לכללים פשוטים מאוד, ולכן קל להניח שאם רק היינו מחפשים טוב וחושבים על זה ממש ממש חזק, היינו יכולים למצוא דרך לחזות מראש אילו צורות ודפוסים יתפתחו מכל דפוס התחלתי. אבל בפועל, אם משחק החיים שלם-טיורינג, המשמעות היא שבהגדרה, לעולם לא ניתן לחזות את ההתנהגות של המשחק בצורה מושלמת: זו מסקנה שקשורה לבעיה מוכרת מאוד במדעי המחשב בשם 'בעיית העצירה', שלא אכנס אליה כרגע. בשורה התחתונה, ישנם דפוסי התחלה שלא משנה מה נעשה, לא נוכל לנחש מראש את האופן שבו יתפתחו ואת הצורות והדפוסים שיפיקו.
בניסוח אחר, אנחנו רגילים לחשוב שמכונה שתהיה מסוגלת להפיק התנהגות מורכבת ועשירה מאוד חייבת להיות בעצמה מורכבת ומסובכת: הרי אנחנו, בני האדם, מפגינים התנהגויות מורכבות ועשירות - וברור שאנחנו מכונות מורכבות ומסובכות מאוד, ואפילו שעון מחוגים מכני סטנדרטי עשוי מעשרות גלגלי שיניים שמשתלבים זה בזה בדרכים שונות ומשונות. אבל משחק החיים, לעומת זאת, הוא אוטומט תאי פשוט ביותר: שני כללים בסיסיים, משבצות שחורות ולבנות…וזהו. העובדה שמערכת כה פשוטה ובסיסית מסוגלת להפגין התנהגות שאפשר להשוות אותה לזו של מחשב שמכיל מיליארדי טרנזיסטורים ושערים לוגיים, מלמדת אותנו שמורכבות פנימית היא לא תנאי הכרחי להופעתן של התנהגויות מתוחכמות ועשירות: גם מערכות פשוטות מאוד יכולות, בתנאים המתאימים, להפגין התנהגויות מתוחכמות ועשירות שכאלה. ולתובנה הזו יש השלכות מרתקות שמהדהדות בכמעט כל תחום במדע ובטכנולוגיה.
סטיבן וולפרם
סטיבן וולפרם (Wolfram) הוא אחד האנשים המרתקים והשנויים ביותר במחלוקת במדע המודרני.
וולפרם הוא גאון: על כך אין עוררין. כבר כשהיה בן 15 הוא פרסם את המאמר הראשון שלו על תורת הקוונטים, ואת הדוקטורט שלו בפיזיקת חלקיקים קיבל כשהיה בן 20 בלבד. ההתקדמות שלו בעולם המחקר הייתה כה מהירה עד שוולפרם חש שהמסגרת האקדמית המקובלת מגבילה אותו, ובגיל 27 הוא החליט לפרוש מהאקדמיה ולצאת לדרך עצמאית. הוא פיתח תוכנת מחשב פופולרית בשם 'מתמטיקה', והקים חברה - Wolfram Research - שהפכה אותו לאיש עשיר מאוד. כל כך עשיר, עד שכיום וולפרם יכול להרשות לעצמו לעשות פחות או יותר מה שבא לו בלי לשאול אף אחד. למשל, את התגליות המדעיות שלו הוא לא מפרסם בירחונים המדעיים המקובלים, אלא בספרים שהוא מפרסם באתר האינטרנט שלו. למה? כי הוא חושב שהוא לא צריך לקבל רשות מאף אחד כדי לפרסם מאמר.
יש לא מעט אנשים שאוהבים את ההתעקשות הזו של וולפרם ללכת בדרך עצמאית משלו, ורואים בעצמאות הזו המשך ישיר למסורת של 'המדען הג'נטלמן' מהמאות הקודמות: אנשים כמו צ'ארלס דרווין ואייזיק ניוטון שפעלו באורח עצמאי וממנו את המחקרים שלהם בעצמם.
מאידך, יש המון מדענים שמאוד לא אוהבים את ההתעקשות של וולפרם לפעול מחוץ לגבולות הממסד המדעי המקובל. למשל, מכיוון שוולפרם לא מפרסם את המאמרים בירחונים המדעיים, הם לא עוברים ביקורת עמיתים (Peer Review) לפני שהם יוצאים לאור: וולפרם מעדיף קודם כל לפרסם, ורק אחר כך לקבל ביקורת. אבל התפיסה המקובלת בעולם המדע היא שמאמר שלא עבר ביקורת עמיתים - הוא לא מאמר מדעי, ולא משנה מה כתוב בו. הוא יכול להיות נחמד בתור כתבה לעיתון או תסריט של פודקאסט - אבל מאמר מדעי, זה לא. ויש לכך סיבה טובה, כמובן: העולם מלא באנשים הזויים שיש להם תיאוריות מדעיות הזויות, וביקורת עמיתים היא השיטה הטובה ביותר שיש לנו היום כדי לסנן את הרעיונות הטובים והרציניים מתוך השטף האינסופי של שטויות וקשקושים חסרי פשר. העובדה שוולפרם מסרב לפרסם את המאמרים שלו בירחונים המדעיים פירושה שמדענים רבים מסרבים לקחת אותו ברצינות.
סטיבן וולפרם הוא ממש לא אדם הזוי - אבל הוא גם לא המדען היחיד שפועל בשוליו של הממסד המדעי. כנראה שלא הייתי טורח לספר לכם עליו - אלמלא העובדה שיש המון אנשים שחושבים שלרעיונות שלו יש פוטנציאל לשנות את הפיזיקה והמדע בכלל, בקנה המידה של השינוי שחוללו תורת היחסות ותורת הקוונטים, לא פחות.
אוטומטים תאיים חד-מימדיים
למרות שהחל את הקריירה בתחום פיזיקת החלקיקים, בתחילת שנות השמונים של המאה הקודמת וולפרם פנה לעסוק בתופעה שונה לחלוטין: מורכבות (Complexity). יש לא מעט מערכות בטבע שמפגינות התנהגויות מורכבות, כאלה שקשה מאוד לתאר אותן באמצעות משוואות מתמטיות וקשה מאוד לחזות אותן: למשל, מזג האוויר, מושבות נמלים, ואפילו התנהגות חברתית של בני אדם. וולפרם הבחין בכך שרבות מהמערכות הללו עשויות מהמון רכיבים פשוטים יחסית, ושההתנהגויות המורכבות שלהן הן תוצאה של האינטראקציות בין הרכיבים האלה. הוא שאל את עצמו איך יכולה מורכבות שכזו להופיע מתוך אוסף של אינטראקציות פשוטות יותר, שאלה שהובילה אותו עד מהרה לגלות את האוטומטיים התאיים - שגם המורכבות שלהם היא תוצר של אינטראקציות או כללים פשוטים.
וולפרם החליט להתמקד במחקריו בסוג הפשוט ביותר האפשרי של אוטומט תאי: אוטומטים חד-מימדיים. במשחק החיים, עולם המשחק הוא לוח משבצות דו-מימדי, כמו לוח שחמט: באוטומט חד-מימדי, כפי שמרמז השם, הזירה שעליה מתנהלים הדברים היא שורה אחת בלבד של משבצות. פרט לשינוי הזה, העיקרון נותר זהה בשני המקרים: הזמן מתקדם בתורות, כל משבצת יכולה להיות שחורה או לבנה (אחד או אפס), ומצבה של כל משבצת בתור בנוכחי תלוי במצב שלה ובמצב של שתי המשבצות שלידה בתור הקודם.
כמו ג'ון קונוויי בזמנו, גם וולפרם היה צריך לבחור את הכללים הספציפיים ששולטים בהתנהגותן של המשבצות, כך שהאוטומט התאי יפיק התנהגויות מעניינות. אבל בעוד שלקונוויי היו מיליוני כללים פוטנציאליים לבחור מהם - הפשטות הקיצונית של האוטומט החד-מימדי הביאה לכך שבמקרה שלו, לוולפרם היו רק 256 כללים פוטנציאליים בסך הכל, מה שאומר שהוא יכל להרשות לעצמו לבחון את ההתנהגויות של כל הכללים האלה באמצעות סימולציות מחשב פשוטות יחסית.
כצפוי, רוב הכללים שבחן וולפרם הפיקו התנהגויות די משעממות. למשל, בתוך מספר תורות כל המשבצות בשורה הפכו לשחורות או שכולן הפכו ללבנות. כללים אחרים הפיקו דפוסים מחזוריים שחזרו על עצמם שוב ושוב ללא שינוי מהותי.
אבל כמה מהכללים בכל זאת הובילו לדפוסים מעניינים ומרתקים. למשל, כלל מס' 30, מתוך 256 הכללים האפשריים, יצר דפוס אקראי שאף פעם לא חזר על עצמו. כלל 110 יצר התנהגויות שהזכירו במורכבות שלהן את משחק החיים: דפוסים שלא היו אקראיים לגמרי מצד אחד, אבל גם לא מחזוריים מצד שני. ב-1998 הוכיח אחד מעוזריו של וולפרם, המתמטיקאי מתיו קוק (Cook), שכמו משחק החיים גם כלל 110 יוצר אוטומט תאי שהוא שלם-טיורינג, משמע מסוגל להפיק התנהגויות מורכבות כמו אלו של מחשב רגיל.
העובדה שאפילו אוטומט תאי חד-מימדי - האוטומט הכי פשוט שאפשר לחשוב עליו, פשוט אפילו יותר ממשחק החיים - בכל זאת מסוגל להפיק התנהגות כה מורכבת, גרמה לגלגלים במוחו של וולפרם להסתובב, והתובנות שהפיק התגבשו, במרוצת הזמן, לכדי תיאוריה מדעית חדשה, שוולפרם שטח בספר בשם 'סוג חדש של מדע'. כפי שאתם יכולים להבין מהשם שהוא נתן לספר, צניעות היא לא הצד החזק של וולפרם.
סוג חדש של מדע
השאלה שמציג וולפרם בספרו נוגעת במה שהוא אולי העיקרון הבסיסי ביותר של המדע המודרני.
כשהמדענים מנסים לתאר את התנהגותן של מערכות, הם שואפים לעשות זאת באמצעות משוואות מתמטיות - למשל, משוואות שמתארות את תנועתו של כוכב לכת מסביב לשמש, או משוואות שמתארות את הסיכוי שאלקטרון יהיה במקום כלשהו סביב גרעין האטום. אבל כפי שציינתי קודם, יש המון תופעות טבע - למעשה, רוב התופעות בטבע - שאנחנו לא מצליחים לתאר באמצעות משוואות מתמטיות, אלא בצורה מקורבת מאוד אם בכלל: למשל, האופן שבו מתפשט וירוס באוכלוסיה, לאן בדיוק ינוע הוריקן וכדומה. מדוע נכשלת המתמטיקה בבואה לתאר מערכות מורכבות שכאלה? האם זה בגלל שאנחנו פשוט לא מבינים טוב מספיק את המערכות האלה - או שאולי יש סיבה אחרת, עמוקה יותר?
כדי לענות על השאלה הזו, אנחנו צריכים לבחון את תופעות הטבע המורכבות האלה מנקודת מבט אחרת.
לצורך ההסבר, נניח שאני מריץ סימולציה ממוחשבת של סופת הוריקן. כדי לגלות לאן ינוע ההוריקן בעתיד, המחשב פותר משוואות מתמטיות שמתארות את התנהגות האוויר בתוך ההוריקן. במילים אחרות - המחשב מבצע חישובים, שיחד קובעים איפה יהיה ההוריקן בעוד כך וכך ימים.
אבל מה קורה בתוך ההוריקן עצמו? זאת אומרת, איך ההוריקן האמיתי, זה שאשכרה מסתובב מעל האוקיינוס - איך הוא "יודע" לאן הוא צריך לנוע? התשובה היא שכיוון התנועה של ההוריקן נקבע על ידי האינטראקציות בין מולקולות האוויר, שיחד קובעות איפה יהיה ההוריקן בעוד כך וכך ימים.
יש דמיון ברור בין התהליך שמבצע המחשב לבין התהליך שמתרחש בתוך ההוריקן: בשניהם מדובר על אוסף של צעדים שמובילים לתוצאה כלשהי - ולכן, אנחנו יכולים להתייחס גם אל מה שמתרחש בתוך ההוריקן האמיתי כאל סוג של חישוב. אמנם החישוב שמבצע ההוריקן שונה מאוד באופיו מהחישוב שמתרחש בתוך המחשב - למשל, במחשב החישובים נעשים בטור, בזה אחר זה, במקום אחד שנקרא המעבד, בעוד שבהוריקן האינטראקציות בין המולקולות נעשות במקביל ובאופן מבוזר בכל רחבי הסופה - אבל אלו עדיין, בגדול, שני היבטים של אותה התופעה. זה קצת כמו שאני אפתור תרגיל מתמטי בראש: אמנם מה שמתרחש בתוך המוח שלי שונה מאוד ממה שקורה בתוך מחשבון מתמטי - אבל בסופו של דבר, שנינו עושים את אותו הדבר, פותרים תרגיל. במילים אחרות, אנחנו יכולים להתייחס אל ההוריקן כאל מערכת חישובית.
ההתנהגויות שמפיקה המערכת החישובית של ההוריקן הן מאוד מגוונות: ז"א, יש המון תתי-זרמים של רוחות, ומערבולות וגשם וכדומה. בהיבט הזה, יש דמיון בין ההוריקן למערכות חישוביות אחרות, כמו למשל משחק החיים, שגם בו מתקבלות התנהגויות מאוד מגוונות - וגם המוח שלנו, שהחישובים שמתבצעים בו יוצרים מגוון של התנהגויות אנושיות שונות ומשונות. סטיבן וולפרם מסיק מהדמיון הזה שכל המערכות השונות הללו - מחשב, הוריקן, משחק החיים והמוח - ניחנות באותה רמה של מורכבות חישובית: רעיון שהוא מכנה 'עקרון השוויון החישובי' (Principle of Computational Equivalence). ומכיוון שיש להן את אותה מורכבות חישובית, הוא אומר, אי אפשר להיעזר במערכת אחת כדי לנסות ולחזות את התנהגותה של מערכת אחרת.
תחשבו על זה ככה. אני יותר חכם מנמלה, ולכן אני יכול לחזות את ההתנהגות שלה בצורה די מדויקת: למשל, אני יודע שבכל פעם שאני אשים לידה גרגר סוכר, היא תאסוף אותו ותיקח אותו לקן. אבל אם יש לי מושבה של נמלים, ז"א מיליוני נמלים שפועלות בשיתוף פעולה - אני כבר לא יכול לחזות את ההתנהגות של המושבה באותה הקלות: אני לא יודע לומר איפה המושבה תחליט להקים את הקן שלה, או כמה חדרים יהיו בקן ולמה ישמש כל חדר. למה? כי מושבת נמלים היא מערכת הרבה יותר מורכבת, מבחינה חישובית, מנמלה בודדת - ואני לא מספיק חכם כדי לחזות את ההתנהגות שלה. בניסוח אחר: אני לא יכול לקחת את המורכבות החישובית של מושבת הנמלים ולצמצם אותה לכלל פשוט בסגנון - "אם X, אז Y."
לעקרון הזה וולפרם קורא "עקרון אי-הצמצום החישובי' (Principle of Computational Irreducibility) וזו הסיבה, לטענתו, שאנחנו לא מסוגלים - ויותר חשוב, לעולם לא נהיה מסוגלים - לחזות את התנהגותן של מערכות מורכבות כגון הוריקן, מושבת נמלים והמוח האנושי באמצעות משוואות מתמטיות. כדי למצוא משוואה מתמטית שמתארת את ההתנהגות של ההוריקן, אני צריך להיות יותר חכם מההוריקן - או במילים אחרות, המורכבות החישובית שלי צריכה להיות גדולה יותר מהמורכבות החישובית של ההוריקן - אבל זה לא מה שקורה: בפועל, לי ולהוריקן יש את אותה מורכבות חישובית, ומכיוון שאי אפשר לצמצם את המורכבות החישובית של ההוריקן - באותו האופן שבו אי אפשר לצמצם את המורכבות החישובית של מושבת נמלים - פירוש הדבר שאי אפשר למצוא "קיצור דרך" כמו משוואה מתמטית שיאפשר לי לחזות את התנהגותו של ההוריקן.
כעת אתם מבינים, אולי, את פשר השם שהעניק וולפרם לספרו: 'סוג חדש של מדע'. וולפרם גורס שהפרדיגמה המקובלת במדע המודרני - הניסיון לתאר מערכות מורכבות באמצעות משוואות מתמטיות - נועדה לכישלון. פה ושם אנחנו מצליחים למצוא תיאורים מתמטיים שכאלה, אבל רק במקרים נדירים יחסית שבהם נוצרים במערכת המורכבת 'כיסים' של חוסר מורכבות: למשל, אנחנו לא מסוגלים לחזות מראש איך בדיוק יתפתח דפוס התחלתי מסוים במשחק החיים - אבל אם במקרה יש לנו גליידר - יצור שנע בקו ישר במהירות קבועה - אנחנו בכל זאת יכולים לחזות איפה הוא יהיה בעוד כך וכך תורות. באותו האופן, אנחנו לא יכולים לחזות התנהגות של מושבת נמלים, אלא אם במקרה כל הנמלים הולכות בטור עורפי לאותו הכיוון. רק במקרים ספציפיים מעין אלה אפשר למצוא "קיצורי דרך" ולתאר את ההתנהגות של המערכת במונחים של משוואה מתמטית.
וולפרם, אם כן, מבקש מהמדענים "להחליף דיסקט": במקום לנסות ולמצוא תיאורים מתמטיים למערכות מורכבות, הוא מציע להם לנסות ולגלות את הכללים הבסיסיים ששולטים בהתנהגותן של המערכות האלה - ולהריץ סימולציות ממוחשבות כדי לראות מה יעשו המערכות האלה בפועל, בדומה לאופן שבו מתנהל משחק החיים.
כמובן שסימולציות ממוחשבות שכאלה הן לא דבר חדש לגמרי במדע: לא מעט חוקרים משתמשים בסימולציות במסגרת המחקרים שלהם. אבל ההנחה המובלעת במקרים כאלה היא שהסימולציות הממוחשבות הן רק כלי עזר, פתרון זמני להתמודדות עם האתגר של מערכות מורכבות - עד ליום שבו נצליח למצוא את המשוואות המתמטיות ששולטות בהן. וולפרם מעלה את השימוש בסימולציות מדרגת כלי עזר לדרגה שאומרת - זו הדרך האפשרית היחידה להתמודדות עם אתגר המורכבות.
חשוב לומר שלוולפרם אין הוכחה מוצקה, במובן של הוכחה מתמטית, לעקרונות שלו: הרעיונות האלה נובעים מתוך הניסיון המעשי שלו עם אוטומטים תאיים והדימיון בינם לבין מערכות מורכבות בטבע. למשל, אין לנו הוכחה מוחלטת לכך שמערכות טבעיות כמו הוריקן ומושבת נמלים הן שלמות-טיורינג באותו האופן שבו משחק החיים וכלל 110 הם שלמים-טיורינג - אבל הדמיון הברור בין אוטומטים תאיים למערכות טבעיות שכאלה הוא הסיבה שוולפרם חושב שבאותו האופן שבו אי אפשר לחזות מראש את התנהגותם של אוטומטים תאיים, גם אי אפשר לחזות מראש את התנהגותן של מערכות טבעיות מורכבות.
פיזיקה דיגיטלית
כאמור, הרעיונות של וולפרם רחוקים מאוד מלהיות בקונזנצוס המדעי, ורוב המדענים עדיין שואפים למצוא את המשוואות המתמטיות שיצליחו לתאר מערכות מורכבות. אבל סטיבן וולפרם לא עוצר, ובשנים האחרונות הוא מרכז את מאמציו במה שהיא אולי החידה הגדולה ביותר מכולן: טבעו של היקום.
קחו אזור מסוים במרחב. סלקו ממנו כל פיסה של חומר או אנרגיה - כל אטום, כל אלקטרון, אפילו את הפוטונים. הכל. מה נשאר? כלום. אבל אנחנו כבר יודעים שאפילו ה"כלום" הזה - הוא "משהו". תורת היחסות מלמדת אותנו שהמרחב מסוגל להימתח ולהתעקם, ותורת הקוונטים אומרת שאנרגיה אקראית מופיעה ונעלמת בו ללא הרף. אז ממה עשוי ה"כלום" הזה?
ב-1969 הציע מדען מחשב גרמני בשם קונרד זוסָה (Zuse) פתרון אפשרי לשאלה הזו.
המשוואות המתמטיות שבהן אנחנו נעזרים כדי לתאר את היקום מניחות שהמרחב הוא רציף: ז"א, הוא לא מחולק לחתיכות קטנות כמו, למשל, המשבצות של משחק החיים. זוסה תהה אם אולי ההנחה זו שגויה מיסודה. הרי גם מים, לצורך העניין, נראים לנו רציפים לחלוטין - אבל זו אשליה: אם נביט עליהם ממש ממש מקרוב נראה שבמציאות, המים עשויים ממולקולות - ז"א, חתיכות קטנות ובדידות של חומר. אולי גם הרציפות של היקום, הציע זוסה, היא לא יותר מאשליה: אולי גם המרחב, ה"משהו" שממנו מורכב היקום, הוא בדיד ועשוי מחלקיקים יסודיים כלשהם - מעין 'אטומים של המרחב'. מהם האטומים של המרחב, וממה הם עשויים? הפיזיקאי אדוארד פרדקין (Fredkin), שהמשיך את עבודתו של סוזה, הציע שהם עשויים לא ממאסה ולא מאנרגיה, אלא ממידע, Information - דהיינו, מידע הוא באופן כלשהו ה"דבר" הבסיסי ביותר ביקום. האינטראקציות בין האטומים של המרחב הן אלה שיוצרות את המציאות שסביבנו - את כל החלקיקים היסודיים וכוחות הטבע ששולטים בהם - באותו האופן שבו האינטראקציות בין מולקולות המים הזעירות הן אלה שיוצרו את התכונות המאקרוסקופיות של מים.
בניסוח אחר, סוזה ופרדקין מציעים שהיקום שלנו הוא סוג של אוטומט תאי: האטומים של המרחב הם כמו משבצות קטנות, יש כללים פשוטים ששולטים על ההתנהגות של אטומי המרחב האלה, וכל דבר ביקום - מכוכבים ועד בני אדם - הוא בסך הכל דפוס שנוצר מתוך אותם קשרים ואינטראקציות. דהיינו, אני ואתם הם "גליידרים" ביקום שהוא מעין 'משחק החיים' בקנה מידה קוסמי.
בשנים האחרונות, וולפרם מקדיש את זמנו לפיתוחם של מודלים חישוביים שיכולים להסביר איך מתהווים חוקי הטבע המוכרים לנו מתוך הקשרים שבין האטומים של המרחב: הוא טוען שהוא כבר הצליח לשחזר בהצלחה אלמנטים ותופעות מסוימות מתוך תורת היחסות ותורת הקוונטים באמצעות מודלים חישוביים שכאלה - אם כי העבודה נמצאת רק בראשיתה.
"השערת היקום הבדיד" זכתה במרוצת השנים לכמה וכמה תומכים כבדי משקל, מדענים בכירים ומוערכים כדוגמת ג'ון וילר (Wheeler), אחד מגדולי הפיזיקאים במאה העשרים, וחרארד 'ט הופט, זוכה פרס נובל. פיזיקאים אחרים, עם זאת, העלו כמה וכמה טענות-נגד חזקות להשערות האלה. למשל, החישובים מראים שאם היקום היה בדיד היינו צריכים לראות הבדלים זעירים בין הניבויים של משוואות תורת היחסות, למשל - שכאמור, מניחה שהיקום רציף - לבין מדידות בפועל של הניבויים האלה. עד כה - לא נמצאו כל הבדלים שכאלה. סתירות דומות נמצאו גם במקרה של תורת הקוונטים, וגם כאן כל הניסויים שנעשו לא תואמים לרעיון של 'אטומים של מרחב'. יש לא מעט הוגי דעות שטוענים שאנחנו בסך הכל נופלים במלכודת פסיכולוגית: מכיוון שהמחשבים נמצאים סביבנו בכל מקום, אנחנו נוטים לפרש כל תופעה שאנחנו נתקלים בה כאילו שהיא קשורה למיחשוב באופן כלשהו - באותו האופן שבו המוח האנושי, שרגיל לזהות פנים אנושיות, נוטה לפרש כל דבר שיש בו שני עיגולים וקו אופקי כ'פרצוף'.
אפילוג
ג'ון קונוויי הלך לעולמו ב-2020, בגיל 82, מסיבוכים של מחלת הקורונה. בראיונות עיתונאיים הוא נהג לספר שלמרות שהמשחק שהמציא הפך אותו למתמטיקאי המפורסם ביותר בעולם - הוא לא אוהב את משחק החיים. למה? מכיוון שבכל פעם שהוא פותח ספר מתמטיקה, ניגש לאינדקס ומחפש את השם שלו - הוא רואה משהו בסגנון: "קונווי, ג'ון, משחק החיים - עמודים 34-38". משחק החיים זכה להצלחה כה גדולה, עד שבכל פעם שמישהו מדבר על קונווי - הוא מזכיר רק את משחק החיים, ולא מדבר על התרומות האחרות שלו לעולם המתמטיקה, שהיו לא פחות משמעותיות...שבתכל'ס, זה בדיוק מה שעשיתי בפרק הזה. מבחינתו, הסביר קונווי, משחק החיים הוא פשוט…לא כזה חשוב.
ועקרונית, הוא צודק. משחק החיים הוא בסופו של דבר משחק: מודל פשטני שאפשר לעשות איתו דברים מגניבים, אבל אין לו שימושים מעשיים בעולם והוא לא מגלה לנו דברים חדשים במתמטיקה שלא ידענו קודם.
אבל אני חושב שזווית ההתבוננות הצרה הזו מפספסת את מה שהיא תרומתו האמיתית של משחק החיים לעולם המדע. ההצלחה הגדולה של משחק החיים חשפה מיליוני אנשים לרעיון הבסיסי שעומד מאחורי המשחק: אוטומטים תאיים. היא הראתה להם את מה שג'ון פון נוימן הבין כבר לפני מאה שנה - שאוטומטיים תאיים, למרות שהם כל כך פשוטים, טומנים בחובם פוטנציאל למורכבות מפתיעה. המדענים שנחשפו לרעיון הזה, לרוב דרך משחק החיים, החלו לתור אחר מנגנונים דומים בעולם הטבע - ומסתבר שיש המון כאלה. למשל, הדפוסים הצבעוניים המורכבים שמופיעים על קונכיות של חלזונות ימיים מסוימים, הם תוצאה של אוטומט תאי חד מימדי טבעי: על שפת הקונכיה ישנה רצועה דקה של תאי פיגמנט, וכמות הצבע שמפריש כל תא שכזה תלויה ברמת הפעילות של התאים הצמודים אליו. ככל שהקונכיה גדלה ומתארכת, נוצרים דפוסים צבעוניים מורכבים ומעניינים. בצמחים, הפעילות של התאים בעלה שאחראים על קליטת גזים נקבעת על ידי כללים פשוטים של אוטומט תאי. גם מחוץ לעולם הביולוגיה, חוקרים גילו שהם יכולים להשתמש באוטומטים תאיים כדי למדל התנהגויות של מערכות מסובכות שעשויות מאוסף של המון חלקיקים פשוטים - למשל, מערבולות בנוזלים, תנועה של הולכי רגל ברחוב, התפתחות של אזורים אורבניים, התנהגות של רשתות נוירונים ועוד.
האם גם היקום הוא סוג של אוטומט תאי? סביר להניח שאת התשובה לשאלה הזו נגלה, אם בכלל, רק בעוד שנים רבות. אבל לא משנה מה תהיה התשובה שנגלה, עצם הטלת הספק בהנחות יסוד שאנחנו כמעט ולא נוטים לחשוב עליהן - שהיקום הוא רציף, ושרק מערכות מורכבות מסוגלות להפיק התנהגויות מורכבות - היא לכשעצמה התפתחות חשובה. מהפכות מדעיות רבות באו לעולם בזכות שינוי כזה של נקודת מבט בסיסית. למשל, את ניסוי שני החריצים אפשר היה להבין רק כשהסכמנו לקבל את זה שפוטונים יכולים להיות גם גלים וגם חלקיקים, ואת תוצאות הניסוי של מייקלסון ומורלי ניתן היה להסביר רק כשקיבלנו את העובדה שהאור, בניגוד גמור לאינטואציה שלנו, נע תמיד במהירות האור. מי יודע: אולי ביום מן הימים המדענים יצביעו על משחק החיים כרגע מכונן בדברי ימי המדע, כזה שאיפשר לנו סוף סוף להבין את היקום שלנו.
מקורות
https://plato.stanford.edu/entries/cellular-automata/#CAEmer
https://embryo.asu.edu/pages/john-von-neumanns-cellular-automata
http://www.scholarpedia.org/article/Game_of_Life
https://web.stanford.edu/class/sts145/Library/life.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=Kk2MH9O4pXY