לא רציונלי (חוץ מבאינדיאנה): על פי, הקבוע המפורסם ביותר במדע

כתב: רן לוי

השנה היא 2326 לספירה, והמקום: החללית אנטרפרייז, במסלול סביב כוכב הלכת אורגליוס 2. קפטיין קירק והקצין הראשון שלו, ספוק, ניצבים בפני בעיה חמורה. ישות מסתורית משתלטת על אנשי הצוות של החללית וגורמת להם לרצוח אנשים אחרים בברוטליות וללא סיבה. בניסיון למנוע רציחות נוספות, קירק מורה לד"ר מקקוי, רופא הספינה, להזריק תרופת הרגעה לכל אנשי הצוות. הישות הרצחנית מתחמקת, משתלטת על מחשב החללית ובכך מאיימת על הצוות ועל כוכב הלכת כולו. קירק מוכרח למצוא דרך להשבית את המחשב.. ספוק ניגש אל המסך. 'מחשב,' הוא אומר ביובש הוולקאני האופייני, 'חשב את הסיפרה האחרונה של פי.' האורות מעל שידת המחשב מתחילים להבהב בפראות. זימזומים רמים עולים מתוך המכשיר- והמחשב נתקע. האויב המופתע נאלץ לנטוש את המכונה המקולקלת- ואז נתפס ומושמד.

מה יש בו, בקבוע המתמטי המכונה 'פי', שהצליח להוריד אל ברכיו את המחשב החזק של האנטרפרייז בסידרה המיתולוגית 'מסע בין כוכבים'? כדי לענות על שאלה זו, הבה נחזור כמה אלפי שנים אחורה, אל מצרים העתיקה.

פפירוס רינד

אלכסנדר הנרי רינד (Rhind) לא היה מתמטיקאי. הוא היה עורך-דין סקוטי, גברבר צעיר וטיפוסי של אמצע המאה ה-19, בעל חיבה מיוחדת לתרבות מצרים העתיקה. רינד סבל ממחלת ריאות קשה, ורופאיו המליצו לו לשהות באקלים יבש. עבור רינד, זו היתה סיבה מצוינת לחצות את הים התיכון דרומה. באחד משיטוטיו בשווקים הסואנים של העיר לוקסור, הזדמן רינד לדוכן עתיקות והבחין ביריעת פפירוס גדולה ברוחב של כשישה מטרים. פפירוסים כאלה, שלרוב נגנבו מאתרים ארכיאולוגים, צצו מדי פעם בשווקים. רינד בחן את הפפירוס בקפידה והחליט לרכוש אותו. בלא יודעין, החלטה רגעית זו היתה כרטיס הכניסה של עורך-הדין הצעיר להיסטוריה, שכן "פפירוס רינד" מכיל – כך נתגלה מאוחר יותר – את הערך המוקדם ביותר הידוע של הקבוע המתמטי המפורסם מכל: פיי (π).

רינד לא זכה להינות מתהילתו כיוון שמחלתו הכריעה אותו כשהיה כבן 30 בלבד, אך הפפירוס שרכש נחקר ביסודיות רבה לאורך השנים. הממצאים מעלים ש"פפירוס רינד" נכתב כמעט 1,700 שנים לפני הספירה, והוא עצמו העתק של פפירוס עתיק יותר, שנכתב כנראה 300 שנים קודם לכן. ערכו של פיי, כפי שנקבע במסמך העתיק, הוא 3.16 – רחוק רק באחוז אחד בלבד מערכו האמיתי הידוע לנו היום. כפי שמעיד "פפירוס רינד", המצרים הקדמונים וגם הבבלים לפניהם, הבחינו בתכונה המשונה והמרתקת של מעגלים: אם מודדים את היקף המעגל ומחלקים אותו בקוטר המעגל – יתקבל מספר קבוע. לא משנה אם העיגול קטן כמו בייגלה, או גדול כמו חומת העיר: תוצאת חילוק ההיקף בקוטר, תהיה תמיד אותו מספר.

העובדה שפי מופיע בכל העיגולים, קטנים וגדולים, קרובים ורחוקים, סיקרנה מאוד את המדענים הראשונים. הם ניסו להבין האם לפי יש משמעות עמוקה יותר לגבי היקום שלנו. אפשר להבין אותם. דמיינו את עצמכם פוסעים ברחוב, ומכל חלון של כל בית תלוי דגל ישראל. אחרי כמה עשרות בתים, ודאי תתחילו לשאול את עצמכם אם ישנה סיבה לתופעה הזו, שמחברת בין המוני בתים שלכאורה אינם קשורים זה לזה. ייתכן ומחקר מדוקדק יותר יעלה שהיום הוא יום העצמאות- מסקנה חשובה שאולי לא הייתם מגיעים אליה אלמלא שמתם לב לדגלים שעל החלונות.

למתמטיקאים הראשונים היתה גם סיבה מעשית טובה לנסות לחשב את פיי בדיוק רב ככל הניתן. הכלכלה הקדומה היתה מושתתת ברובה על חקלאות, וחישוב שטחי הגידול (שגבולותיהם לא תמיד היו ישרים כסרגל) ואורכן של תעלות ההשקייה הפתלתלות, היו בעלי חשיבות מכרעת עבור החקלאים. אך החישוב המדויק של פיי היווה בעיה קשה עבור המצרים וקודמיהם, שכן שהוא אינו מספר שלם, אלא שבר: שלוש וקצת. בהיעדר הידע המתמטי הדרוש, הם היו יכולים להיעזר רק במדידות שנעשו בפועל לצורך העניין, מדידות שמטבע הדברים היו גסות ולא מדויקות. גם ליורשיהם האינטלקטואלים של המצרים, היוונים, היו סיבות טובות לחשב את פיי. פיתגורס, אוקלידס וחבריהם עסקו בפתרונה של חידה עתיקת יומין, ששורשיה לוטים אי-שם בערפל ההיסטוריה: חידת "ריבוע המעגל".

ריבוע המעגל

השאלה שהציקה לפילוסופים היוונים היתה: האם ניתן לצייר ריבוע, אשר שטחו שווה לשטח של מעגל? מעבר לאתגר האינטלקטואלי, היה זה ניסיון אמיתי להבין את גבולותיה של התיאוריה המתמטית המתקדמת ביותר של אותו הזמן – הגיאומטריה האוקלידית. במילים אחרות, אלו מושגים מתמטיים ניתן להביע כנקודות במישור או במרחב, כציורים וצורות, ואיזה לא? הבעיה היא שכדי לצייר ריבוע ששטחו זהה לשטח מעגל, צריך לדעת במדויק את שטחו של המעגל. שטח זה נתון לפי הנוסחה "פיי כפול ריבוע הרדיוס": משמע, חובה עלינו לגלות את ערכו של פיי.

ארכימדס מסירקיוז היה זה שהצליח ליישם את העקרונות הגיאומטריים לצורך חישובו של פיי. הוא שרטט עיגול, וסביבו שני מצולעים שווי צלעות: אחד בתוך העיגול והשני מחוצה לו. את היקפם וקוטרם של המצולעים קל היה לחשב באמצעות גיאומטריה פשוטה, וארכימדס הוכיח שהשניים מהווים חסם תחתון וחסם עליון להיקפו של העיגול, הכלוא ביניהם. באופן זה הגיע ארכימדס למסקנה כי פיי הוא בערך 3.14, אם כי גם ארכימדס ידע שאין זה ערכו האמיתי או הסופי של קבוע זה. עדות לחשיבות פריצת הדרך של ארכימדס ניתן למצוא בעובדה שבמשך יותר מ-1,500 שנים איש לא הצליח לחשב את פיי בדיוק גבוה יותר.

פריצת הדרך הגדולה השנייה התרחשה רק לקראת תום ימי הביניים, עם תחילתו של עידן הרנסנס. במתמטיקה, זו היתה תחילתו של שינוי כיוון דרמטי, דרך אחרת לגמרי להבין מספרים: המצאת החשבון האינפיטיסימלי. המלה "אינפיטיסימלי" כוללת שתי מילים: Infinity (אינסוף) ו-Small (קטן). צירוף שתי המילים הללו מעיד כי ענף זה של המתמטיקה עוסק בחישובים של אינסוף מספרים, שהולכים ונעשים קטנים יותר ויותר.

הקשר בין החשבון האינפיניטיסמלי ופיי נתגלה עד מהרה: התברר שניתן לחשב את פיי לפי סדרה אינסופית של מספרים, שהולכים ונעשים קטנים יותר. למשל, ארבע פחות ארבעה-שלישים, ועוד ארבע-חמישיות, פחות ארבע-שביעיות ועוד ארבע-תשיעיות וכן הלאה עד לאינסוף. ככל שנשקיע זמן רב יותר בחיבור ובחיסור סדרת המספרים הזו, נקבל ערך מדויק יותר של פיי.

השיטה האינפיטיסימלית לחישוב פי הייתה התקדמות משמעותית- אבל חלפו עוד כמה וכמה שנים עד שהמתמטיקאים הצליחו ליישם אותה בהצלחה כדי להתעלות על הישגו של ארכימדס. כל החישובים הללו, חיבור וחיסור וחוזר חלילה, היו עבודה סיזיפית של ממש. נדרשו למעלה משלוש מאות חיבורים וחיסורים כאלה כדי למצוא את ערכו של פי עד לשני ספרות אחרי הנקודה, בסך הכל. רק כששיכללו המתמטיקאים את יסודות התיאוריה שלהם, קיבלו סוף סוף כלים חזקים יותר מאי-פעם לאיתור שיטות חדשות לחישוב פיי. שיא חדש רדף שיא חדש, ונוסחאות מבריקות החליפו נוסחאות מבריקות אחרות. 1,500 שנה החזיק שיאו של ארכימדס, אך בתוך 200 שנה בלבד הצליחו המדענים לחשב את פיי עד לספרה ה-100 אחרי הנקודה.

אך בל נטעה לחשוב שהמשימה הפכה לקלה יותר. עדיין נדרשו תעצומות נפש אדירות מצד המתמטיקאי, שהחליט לקחת על עצמו את המשא הכבד של חישוב פיי. נידמה שאין שום חוקיות הגיונית בתוך ערכו של פי. סיפרה אחרי סיפרה וחישוב אחרי חישוב, איש לא הצליח למצוא שום סדר פנימי או הגיון חבוי בטור המספרים הארוך- רק אקראיות קופצנית ומתסכלת: 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510….

במצב כזה קל מאוד לעשות טעות קטנה בחישוב אחד מתוך אלפים, ולקבל ערך שגוי לחלוטין של פי. האנגלי ויליאם שאנקס שקד על פי במשך חמש עשרה שנים רצופות במאה התשע עשרה, והגיע עד למקום ה-707 אחרי הנקודה. רק שבעים שנה לאחר מכן גילו חוקרים אחרים שלשאנקס הייתה טעות קלה באחד מחישוביו וכל הספרות החל מהמקום החמש מאות שבעים ושניים היו מוטעות.

גם המתמטיקאי לודולף ואן-קולן השקיע את מרבית חייו בחישוב פיי עד הספרה במקום ה-35 אחרי הנקודה. הוא היה כל-כך גאה בהישגו, שהיה הטוב ביותר במאה ה-17, עד שביקש שיחרטו את הערך של פיי על מצבתו.

מרדף שאין לו סוף

מדוע התאמצו המתמטיקאים לחשב את פיי? איזו תכלית יש למרדף אחר מספר שנדמה שאין לו סוף? הרי אין שימוש מעשי לידיעת ערכו של פיי עד ל-100 ויותר מקומות אחרי הנקודה. לצורך הדגמה, אם היינו רוצים לחשב את היקפו של עיגול, שמקיף את היקום כולו, די בדיוק של פיי עד המקום ה-39 אחרי הנקודה. רבים האמינו שהמרדף הזה הוא חסר תוחלת: אפילו אייזיק ניוטון הגדול, שניסה את כוחו והוא הצליח להגיע עד הסיפרה החמש עשרה לפני שנעצר, היה מעט נבוך לגבי כל העניין. "אני מתבייש לספר לכמה ספרות הגעתי," התנצל ניוטון, "לא היה לי משהו מעניין יותר לעשות באותו הזמן."

חלק מהמתמטיקאים שהקדישו את מרצם לחישובו של פי רצו לגלות אם חבויה חוקיות מסוימת לספרות האקראיות לכאורה של פיי. חוקיות כזו, אם ישנה, עשויה להתגלות כרמז לתובנות מעמיקות יותר על היקום שסביבנו. עבור מתמטיקאים אחרים, הערך לא היה המטרה, כי אם הנוסחה. המתמטיקאים מעריכים מאוד את האלגנטיות והיופי שבנוסחאות שלהם והם מנסים תמיד למצוא שיטות יעילות, יפות ומקוריות יותר לחישוב פיי. מניע זה סייע מאוד, כפי שיתברר בעתיד, דווקא למהנדסי המחשבים של המאה ה-20.

פתרון אינדיאנה

היו גם מי שביקשו להתגבר על הקשיים בדרך עוקפת. בשנת 1897 פנה רופא מקומי, שהיה גם מתמטיקאי חובב, אדווין גודווין, לחברי האסיפה הכללית של מדינת אינדיאנה שבארה"ב. הוא דיווח להם שהצליח לפתור את חידת "ריבוע המעגל" המפורסמת שטרדה את מנוחתם של המתמטיקאים עוד מימיו של ארכימדס. הפיתרון של גודווין היה פשוט למדי: הוא החליט שערכו של פיי הוא 3.2, וזהו. כשערכו של פיי ברור וידוע, אין כל בעיה לשרטט ריבוע בעל שטח זהה לזה של מעגל: מחשבים את ריבוע הרדיוס של המעגל ומכפילים ב- 3.2. גודווין הציע לחוקק בחוק מדינה את הפיתרון שלו. לא ברור מה היה אמור להיות עונשו של מי שיעבור על החוק.

חברי האסיפה הכללית של אינדיאנה העבירו את הצעת החוק לוועדה לתכנון תעלות השקייה (בחירה ברורה והגיונית), שלחבריה היה מספיק שכל בקודקודיהם כדי להעביר את העניין אל ועדת החינוך. הוועדה, שהיתה אמונה על חינוכם של ילדי אינדיאנה, לא מצאה כל סיבה להתנגד לקביעת ערכו של פיי, שכן (ואני מצטט) "ערכו הנוכחי של פיי הוא כה מסובך ונפתל, עד שאינו שימושי כלל וכלל".

משם עלתה הצעת החוק אל האסיפה הכללית של המדינה, ועברה פה אחד באפס מתנגדים. או-אז הועברה הצעת החוק מעלה – לסנאט של אינדיאנה – לאישור סופי לפני הכנסתה לספר החוקים של המדינה. בליל ההצבעה על אישור החוק, הזדמן לבניין הסנאט פרופסור קלארנס וואלדו, מתמטיקאי מקצועי (ולא חובב כמו ד"ר גודווין) מהאוניברסיטה המקומית, שהגיע כדי להשגיח באופן אישי על תקציב המוסד שלו. מישהו תחב לידיו את הצעת החוק והציע לו לגשת ולברך את הממציא בר-המזל. וואלדו, ששמע על הצעת החוק, סירב ואמר שהוא כבר מכיר מספיק משוגעים, תודה רבה. הוא הצליח לשכנע את חברי הסנאט לגנוז את הרעיון המטופש.

אדווין גודווין, כאמור, לא היה היחיד שניסה לפתור את חידת ריבוע המעגל. למעשה, כל כך הרבה פתרונות והצעות הוגשו לאקדמיה הצרפתית למדעים ולחברה המלכותית הבריטית, עד שבשלב מסוים הכריזו שתי המוסדות הללו שלא יקבלו יותר הצעות לפתרון.

המסמר הראשון בארון המתים של חידת ריבוע המעגל ננעץ בשנת 1761 כאשר יוהאן למברט, מתמטיקאי שוויצרי פורה, שתרם רבות לתחומי האסטרונומיה והאופטיקה, הצליח להוכיח כי פיי אינו מספר רציונלי. מספר רציונלי הוא מספר, שניתן לייצגו כשבר. למשל, חמש-שמיניות או רבע. אם לא ניתן לכתוב את פיי כשבר, כפי שהוכיח למברט, אזי הוא אינסופי: הספרות אחרי הנקודה ממשיכות וממשיכות לאין קץ.

תעודת הפטירה לחידת ריבוע המעגל הגיעה כמאה שנים מאוחר יותר, בשנת 1882, כשהמתמטיקאי הגרמני פרדיננד פון-לינדמן הוכיח כי פיי הוא מספר טרנסצנדנטלי. מספר טרנסצנדנטלי הוא מספר שאי אפשר להגיע אליו בשיטות המקובלות של חיבור, חיסור, כפל או חילוק. משמע, אי אפשר לקחת מספר כלשהו וממנו להגיע, באמצעות חישוב, לערכו האמיתי של פיי. המשמעות העמוקה יותר היא כי לפיי אין ערך אמיתי. נתאמץ ככל שנרצה, נזיע על המחברות ונגלה נוסחאות חדשות – לעולם לא נגיע לערכו האמיתי של פיי, פשוט מכיוון שאין כזה.

המתמטיקאים לא היו מופתעים מעובדה זו, שכן עצם היותו של פיי מספר אי-רציונלי, כפי שהוכח זה מכבר, הרי שאין תקווה לחשב את ערכו הסופי. להוכחה של לינדמן היתה חשיבות גדולה בעיקר לעניין חידת ריבוע המעגל: כדי לשרטט ריבוע באמצעות סרגל ומד-זווית, למשל, יש להתחיל מנקודה כלשהי על הדף, וממנה לצייר קווים מתאימים. פעולה זו שוות ערך, מבחינה מתמטית, לחיבור של קואורדינטות או הכפלה שלהן. אם לא ניתן להגיע אל פיי באמצעות חיבור, כפל וכדומה, אזי לא ניתן גם לשרטט ריבוע ששטחו כשטח מעגל (שהוא, כזכור, תלוי בערכו של פיי).

אבל גילויים אלה לא סימנו את סופו של המרדף אחר פי, ואפילו ההיפך מכך. מחשבים הם כלי מצוין לחישובים מתמטיים, אבל חישובו של פיי הוא אתגר קשה עבורם. זהו חישוב ארוך ונפתל, שכל שגיאה זעירה בו מתבטאת בתוצאה שגויה לגמרי. חישוב פיי הוא אתגר הנדסי משמעותי, שלפתרונו יש השלכות לגבי הצורה שבה מתכננים ובונים מחשבים עתירי ביצועים. למעשה, במשך זמן רב המהנדסים השתמשו בתוכנות לחישוב פי ככלי ל'בדיקת מאמץ' עבור המחשב, מתוך ההנחה שאם הוא שורד את האלגוריתמים הטובעניים הללו, הוא יסתדר עם כל שאר התוכנות (אולי פרט ל-Windows).

המתמטיקאים ניסו (ועדיין מנסים) למצוא אלגוריתמים ונוסחאות אלגנטיות ונפלאות, שיאפשרו למחשבים לחשב את פיי בדיוק הולך וגובר, והמהנדסים מתחרים זה בזה בתכנון ובניית מחשבים טובים, מהירים ומדויקים יותר. ישנן עדיין מספר שאלות בלתי פתורות שנוגעות בעניין זה, כמו למשל- האם פי הוא באמת מספר אקראי או שמא קיימת בו חוקיות סמויה שבאה לידי ביטוי רק בערכים הקטנים ביותר של פי. נכון להיום, ערכו של פי בדיוק של יותר מטריליון ספרות אחרי הנקודה, והוא עדיין אקראי לחלוטין לכל אורך הדרך.

בשנים האחרונות חלו שתי התפתחויות מרתקות בעולם הפי. המתמטיקאים ריצ'ארד ברנט ויוג'ין סלמאין גילו, כל אחד בנפרד, אלגוריתמים יעילים במיוחד המאפשרים חישוב ערכו של פי, בתוך עשרים וחמש חישובים בלבד, לארבעים וחמישה מיליוני ספרות אחרי הנקודה. בהשוואה לשלוש מאות החישובים שנידרשו עבור שתי ספרות בלבד אחרי הנקודה לפני חמש מאות שנה, זו התקדמות בלתי נתפסת כמעט.
גילוי חשוב נוסף הוא שיטת BBP, על שם ראשי התיבות של מגליה. BBP מאפשרת לנו לעשות משהו שהיה עד כה בלתי אפשרי. עד היום, כדי לחשב סיפרה כלשהי של פי, למשל- את הסיפרה במקום המאה אחרי הנקודה- היו חייבים לחשב את כל תשעים ותשע הספרות שקדמו לה. טעות אחרת בדרך- והכל אבוד. שיטת BBP, לעומת זאת, מאפשרת לחשב כל סיפרה רצויה של פי ללא קשר לאחרות. למי שדברים כאלה חשובים לו מאוד, הסיפרה במקום הקוונטריליון אחרי הנקודה היא- אפס.

יום פיי הבינלאומי

גם ההתעניינות התרבותית בפי לא דעכה אפילו במעט. מאז שנת 1988 נחגג ברחבי העולם "יום פי הבינלאומי". את החג המיוחד הזה (בלשון המעטה) ייסד הפיזיקאי לארי שואו במסגרת האקספלורטוריום, מוזיאון מדע של סאן פרנסיסקו, והוא נחגג בארבעה עשרה למרץ. אם נזכור שהאמריקאים כותבים את התאריך הפוך מאיתנו, קודם כל החודש ואחר כך היום, נקבל את התאריך 3.14. אכן, צירוף מקרים מדהים.
במסגרת אירועי החג נהוג ללבוש חולצות עם הדפסה של ערך מדויק ככל האפשר של פי (הנה מיקרה ייחודי שבו משתלם להיות קצת שמנמן), לראות את הסרט 'אמריקן פי', לארגן ריצה למרחק של פי קילומטרים, לאכול פשטידות ואננס (Pineapple) ובאופן כללי להסתובב במעגלים ולהראות חנון ככל האפשר. זוגות רומנטיים- אל תוותרו על ההזדמנות להתחתן ביום פי, בשעה אחת, חמישים ותשע דקות ועשרים ושש שניות.

גם הזמרת הוותיקה קייט בוש כתבה שיר על פי, שיר אהבה למתמטיקאי שבו היא שרה בפזמון את פי עד למקום המאה וחמישים אחרי הנקודה. (להשמיע השיר). ללא ספק, רעיון נהדר – אבל אולי כדאי שתשקול להחליף את היועץ המדעי שלה: היא טועה בכעשרים ושתים ספרות.

אבל יש עוד סוג של חובבי פיי, שלוקחים אותו למקום אחר. הם נקראים, "פייפולוגים", והם מתחרים זה בזה בשינון ערכו של פיי עד למספר הספרות המירבי. השיטה המקובלת ביותר כדי לשנן את פי היא באמצעות שירים. השירים האלה נכתבים כך שאורך כל מילה מתאים לסיפרה. למשל, המשפט How I need a drink: שלוש אותיות, אות אחת, ארבע אותיות וכן הלאה. שירים אלה מכונים 'פיאמות', על משקל 'פואמות'.
השיא העולמי, נכון להיום, שייך ליפאני, אשר זוכר בעל-פה את ערכו של פיי עד 100 אלף ספרות אחרי הנקודה.

הפיזיקאי האמריקני הנודע, ריצ'רד פיינמן, הבחין בעובדה, כי אי שם במקום ה-762 אחרי הנקודה נמצא רצף של שש-תשיעיות בזה אחר זה. באחת מההרצאות שלו, סיפר פיינמן שהוא מעוניין ללמוד בעל-פה את כל הספרות עד למקום ה-762, רק כדי שיוכל לקרוא אותן בקול ואז לסיים ב"תשע-תשע-תשע-תשע-תשע-תשע, וכן הלאה וכן הלאה". הומור מיוחד יש לפיזיקאים.