על חשבוניה, מחשבונים והדרך ה"נכונה" ללמד ילדים חשבון

כתב: רן לוי

אחד הסופרים האהובים עלי בילדותי היה אייזיק אסימוב. קראתי לא מעט ספרים וסיפורים פרי עטו של אסימוב, אבל סיפור אחד נחרט בזכרוני במיוחד. העלילה מתרחשת בעתיד שבו מחשבים כה נפוצים וזמינים, עד שאף אחד – כולל גם המתמטיקאים הבכירים ביותר – אינו זוכר איך פותרים תרגילי חשבון פשוטים על דף. גיבור הסיפור הוא ילד צעיר, חובב מתמטיקה, שמגלה מחדש את התורה האבודה הזו: הוא מדגים בפני המתמטיקאים המשתאים כיצד הוא מסוגל לחבר, לחסר, לכפול ואפילו לחלק מספרים ארוכים מאוד באמצעות לא יותר מאשר עיפרון ומחק, והופך לסנסציה עולמית בזכות היכולות ה'פנומנליות' שלו.

אינני יודע מדוע אני זוכר דווקא את הסיפור הזה: אולי כיוון שבזמנו חשבתי שהרעיון שבבסיס העלילה מגוכח ולחלוטין לא סביר, בניגוד לשאר רעיונותיו של אסימוב. הסיכוי שבני האדם יאבדו ידע כה טריוויאלי ובסיסי כמו חיבור וחיסור על דף היה נדמה לי קלוש עד אפסי.

אבל כשאני מביט על עצמי היום, בעידן שבו מחשבים נפוצים וזמינים כפי שהם מתוארים בסיפור של אסימוב, אני שואל את עצמי אם יכול להיות שהסופר החכם הזה עלה על משהו נכון. גיליתי על בשרי כמה קל לשכוח מידע, כשיש לך טלפון חכם שצמוד אליך עשרים וארבע שעות ביממה. למשל, פעם זכרתי את מספרי הטלפון של ההורים, החברים ובת הזוג שלי. היום, לעומת זאת, אינני זוכר אפילו מספר טלפון אחד: לא של אימא שלי, לא של אבא שלי – אפילו לא את המספר של אשתי. ברור שאם באמת אשתדל, אצליח לזכור את המספרים – אבל מה הטעם? יש סיכוי אפסי שאמצא עצמי ללא מחשב מחובר לאינטרנט בטווח של כמה עשרות מטרים. אינני מתאמץ לזכור מספרי טלפון, ולכן שכחתי את כולם.

לא סביר שהאנושות, כקבוצה, תאבד את היכולת לבצע חישובים פשוטים בעזרת דף ועיפרון כפי שתיאר זאת אסימוב בסיפור. אבל בעולם שבו אתה יכול ללחוץ על כפתור, לשאול את המחשב כמה זה 4+4 ולקבל תשובה מיידית – נסו זאת בטלפון החכם שלכם – לרובם המכריע של האנשים אין סיבה אמתית לערוך חישובים על נייר. אם לא נכריח את הילדים לעשות זאת בבית הספר, לא מן הנמנע שרובם לא ידעו לבצע חילוק, למשל, באופן ידני.

השאלה שאציג בפרק זה נוגעת, אם כן, למקומו של המחשבון – בין אם כמחשבון כיס ייעודי ובין אם כאפליקציה בטלפון החכם – בבית הספר, ובפרט בבית הספר היסודי. הורים, מורים ומתמטיקאים מתווכחים על התשובה לשאלה הזו כבר מזה למעלה מארבעים שנה, מאז הומצא מחשבון הכיס הראשון. כפי שניווכח, השאלה אם יש לאשר או לאסור את השימוש במחשבונים בתחומי הכיתה היא רק ספתח לשאלה מורכבת, קשה ויסודית הרבה יותר.

ההיסטוריה של החשבוניה

אמנם מחשבון הכיס האלקטרוני הוא המצאה מודרנית למדי, אך בני אדם נעזרו במכשירים שונים ומשונים כדי לבצע חישובים כבר מאז שחר ימי ההיסטוריה. שורשיה של החשב וניה, למשל, נמצאים ככל הנראה בשומר העתיקה, כאלפיים וחמש מאות שנים לפני הספירה. במקור, החשבוניה הייתה לא יותר מאשר משטח חולי שעליו צוירו פסים, והחישוב נעשה באמצעות העברת אבנים קטנות מפס לפס, בסדרת צעדים פשוטה ומוגדרת היטב שכל ילד למד בזמן קצר.

בעזרת חשבוניה ניתן לבצע את כל הפעולות הבסיסיות הדרושות לשם מסחר ובנקאות – חיבור, חיסור, כפל וחילוק – ואף חישובים מורכבים יותר כגון הוצאת שורש. אולי בזכות המסחר, החשבוניות היו בשימוש אצל כמעט כל העמים בעת העתיקה, ממצרים ועד ויפן. הפועל הלועזי To Calculate, 'לחשב', מגיע אלינו מהרומאים: הביטוי Calculos Ponere, בלטינית, פרושו 'להניח אבנים קטנות', על החשבוניה כמובן. כשרומאי רצה 'לסגור עם מישהו חשבון', במובן הלא-ידידותי של הביטוי, הוא היה אומר – Vocare Aliquem Ad Calculos, שפירושו – 'אני אקח אותו אל האבנים הקטנות.'

החשבוניה בצורה המודרנית – מסגרת עץ ובתוכה עמודות אנכיות שעליהן מושחלים חרוזים עגולים – מגיעה אלינו מסין, שם הומצאה בסביבות המאה ה-12. יתרונה הגדול של החשבוניה הסינית על פני הדגמים שקדמו לה הוא במהירות המרשימה, ואולי אפילו מפתיעה, שבה ניתן לבצע בעזרתה חישובים מורכבים למדי. משתמש מנוסה ומיומן מסוגל להזיז את החרוזים מעלה ומטה בזריזות, כמו פסנתרן שמנגן יצירה מורכבת.

אחת הדוגמאות המוצלחות ביותר למהירותה המפתיעה של החשבוניה הפשוטה היא תחרות ראווה שנערכה בטוקיו, בשנת 1946. את התחרות יזם עיתון של הצבא האמריקני, ששלט באותה העת על יפן הכבושה. המתמודדים היו מחשב אלקטרוני – המצאה חדשה ומסעירה באותם ה ימים – וחשבוניה פשוטה מדגם בשם Soroban, שהיה נפוץ ביפן. את המחשב האלקטרוני הפעיל טוראי תומאס ניית'ן ווד (Wood), הטכנאי הבכיר ביותר בבסיסו,ואת החסוהיב והיפני קיושי מטסוזאוקי, גדול החשבונאים – אם יש מילה כזו – במחלקת השכר והתקציב של משרד הדואר היפני.

המתמודדים נתבקשו לפתור תרגילי חיבור, חיסור, כפל וחילוק של מספרים מרובי-ספרות בזמן הקצר ביותר, וכמובן ללא טעויות. למשל, חיבור חמישים מספרים בני שלוש עד שש ספרות כל אחד, או חמישה תרגילי חילוק עם מספרים בעלי חמש עד שניים עשר ספרות. ברור שהממשק מול המחשב באותה התקופה לא היה ידידותי ונוח כפי שהוא כיום – אך מהירות המעגלים האלקטרוניים הייתה אמורה להוות פיצוי הולם. ובכל זאת, קיושי והחשבוניה שלו היכו את ווד והמחשב שוק על ירך: היפני ניצח בארבעה מתוך חמישה מקצים – אפילו בתרגילים שכללו את כל ארבעת הפעולות. המחשב ניצח רק בתרגילי הכפל, וגם זאת בהפרש זעום למדי.

הפשטות והמהירות שבהן ניתן לבצע חישובים הפכו את החשבוניה לעזר החישוב הפופולרי והנפוץ ביותר במשך אלפי שנים. היא החלה לצאת מהאופנה באירופה בסביבות המאה ה-17, אך המשיכה להיות בשימוש במקומות רבים ברחבי העולם עד לאחרונה: בברית המועצות, למשל, למדו התלמידים להשתמש בחשבוניה עד תחילת שנות התשעים. גם בימינו, על אף הזמינות הגבוהה של מחשבוני כיס זולים, חשבוניות עדיין נמצאות בשימוש נפוץ יחסית בשווקים ובחנויות קטנות בדרום-מזרח אסיה.

המחשבון האלקטרוני

מחשבונים אלקטרוניים הופיעו לראשונה בתחילת שנות הששים של המאה העשרים. כמו כמעט כל טכנולוגיה ראשונית וחדשנית, היו למחשבונים הראשונים מגרעות למכביר: הם היו גדולים כמו מחשב נייד ממוצע של ימינו, צריכת האנרגיה הגבוהה שלהם חייבה חיבור לשקע בקיר ומחירם היה יקר להחריד: כשמונת אלפים דולר, בכסף של ימינו. אין פלא שרוב המהנדסים, למשל, העדיפו להשתמש בעזרי חישוב אחרים, כגון סרגלי חישוב (Slide Rules) מכניים וזולים שביצעו פעולות כפל, חילוק, הוצאת שורשים, חישובי לוגריתמיים ומגוון סוגי חישובים שימושיים בתחומים רבים, מאדריכלות ועד לירי פגזי ארטילריה. על שימוש במחשבונים אלקטרוניים בתחומי הכיתה לא היה על מה לדבר, כמובן.

אך האלקטרוניקה התקדמה בצעדי ענק במחצית השנייה של המאה העשרים, ובתוך פחות מחמש עשרה שנה השתנה המצב מקצה לקצה. המצאת הטרנזיסטור, וזמן קצר לאחר מכן פיתוח המעגל המשולב שהכיל מאות טרנזיסטורים בשבב בודד, אפשרו לחברות כמו Texas Instruments, Rockwell ו-General Electric לשכלל את המחשבונים בקצב מהיר. בשנת 1967 הציעה לראשונה TI מחשבון אלקטרוני בשםCal-Tech שהיה קטן דיו כדי להתאים לכיס המכנסיים – אך עדיין חייב חיבור לשקע החשמל. לא הייתה לו תצוגה אלא הדפסה על דף ומחירו היה כמה אלפי דולרים. שבע שנים בלבד לאחר מכן, ב-1974, כבר הציעה TI מחשבון מדגם 2550 שהיה מוזן מסוללות, בעל תצוגת LED ועלה פחות ממאה דולר. סרגלי החישוב נעלמו מהעולם בתוך שנים ספורות, כמובן.

בשלב זה הורים רבים הירשו לעצמם לשלוח את ילדיהם לבית הספר מצוידים במחשבונים – וכמעט מיד פרץ הוויכוח בשאלה שהצגתי בפתיחת הפרק – האם כדאי לאפשר לילדים בבית הספר היסודי להיעזר במחשבונים בלימודי החשבון. המורים בבתי הספר בארצות הברית נחלקו לשני מחנות: ה-NCTM, המועצה הלאומית של מורי החשבון, הודיעה כבר בתחילת שנות השמונים על תמיכה גורפת בשימוש בהכנסת מחשבונים לכיתות. מהעבר השני היה ציבור מורים והורים גדול שהתנגדו לכך, ואף ערכו הפגנות מחאה מול המשרדים שבהם נערכו ישיבות ה-NCTM.

לשני הצדדים טיעונים משכנעים למדי. המתנגדים לשימוש במחשבון טוענים שתלמיד שאינו מבצע את החישובים באופן ידני, בעזרת דף ועיפרון, אלא מקבל את תוצאות החישוב על צג המחשב כבמטה קסם – לא יבין את הצעדים שהובילו לתוצאה. לא פחות חמור, השימוש במחשבון ימנע מהתלמיד לפתח אינטואיציה מתמטית: היכולת להעריך מה צריכה להיות התשובה, פחות או יותר. אינטואיציה כזו חשובה גם למי שמשתמש במחשב כדי לפתור תרגילים. אמנם המחשבון אינו טועה, אבל המפעיל האנושי עלול בהחלט ללחוץ על כפתור לא נכון ואז גם התוצאה תהיה שגויה – תופעה שמהנדסי המחשב מכנים ‘GIGO’: Garbage In, Garbage Out…מי שאין לו אינטואיציה לגבי תוצאת החישוב הצפויה, לא ידע לזהות תשובה שגויה לחלוטין שכזו. מורה למתמטיקה מקליפורניה הסבירה את הבעייתיות שבשימוש במחשבון בתמציתיות:

"תלמיד שאינו מבצע חילוק בעזרת דף ועיפרון ושולף את המחשבון שלו כדי לזכות בתשובה זריזה, לא יבין את העקרונות החילוק הבסיסיים.. מחשבונים מונעים מתלמידים מלראות את המבנה הפנימי והיופי שבמתמטיקה."

מנגד, התומכים בהכנסת מחשבונים לבתי הספר גורסים שאין שום דבר יפה או חכם בעבודת פרך מייגעת של חישובים ארוכים. בסופו של דבר, כמעט כל חישוב הוא רק סדרת צעדים מסודרת שחוזרת על עצמה פעם אחר פעם באופן מתודי עד שמגיעים לתשובה הנכונה: מחברים שני מספרים, כותבים את השארית מעל הספרה הבאה, מחברים שוב, ושוב כותבים את השארית… זו טרחה שלא תמיד יש לה מטרה. תחשבו כמה רחוק היו יכולים מתמטיקאים מבריקים כמו אייזיק ניוטון או גודפריד לייבניץ להגיע עם הרעיונות שלהם, לו היו בתקופתם מחשבונים שהיו חוסכים מהם את עבודת הפרץ המייאשת והמועדת לשגיאות של החישובים הארוכים. פרופ' למתמטיקה בשם פטרישיה קמפבל סיכמה את הטיעון הזה כך:

"הייתי רוצה שכל תלמיד ילמד איך לחבר ולחסר מספרים בעלי שתיים ושלוש ספרות. אבל לא הייתי רוצה לבזבז את השיעור בלחבר ולחסר מספרים בעלי חמש או שש ספרות: הייתי מעדיפה לנצל את הזמן הזה כדי ללמוד מתמטיקה."

הויכוח הז שריר וקיים גם בימינו. לשני הצדדים טיעונים משכנעים והגיוניים, ויכול להיות שאין בכלל תשובה מוחלטת וסגורה לשאלה שהצגתי בפתיחת הפרק: האם יש לאשר או לאסור על השימוש במחשבונים בבתי הספר היסודיים. אם עכשיו אני אסגור את המיקרופון ואסיים את התוכנית, נצא מכאן ללא תשובה וללא תובנה או מסקנה חכמה מהעניין.

התובנה של ריצ'ארד פיינמן

אבל רגע, חכו שניה. בואו נחזור כמה צעדים אחורה, אל החשבוניה. החשבוניה אינה כה שנויה במחלוקת. אינני יודע אם מישהו מלמד כיום חשבון בעזרת חשבוניה, אך סביר להניח שמורה שיהיה מעוניין לעשות בה שימוש לא יתקבל בהתנגדות אידיאולוגית כה נחרצת כמו זו שמופנית כנגד המחשבון. וזה די מוזר, לדעתי – כיוון שבסופו של דבר, אין הבדל רב בין השניים האלה. הסיפור הבא ידגים את הנקודה הזו.

ריצ'ארד פיינמן היה פיזיקאי מוכר ומוערך, זוכה פרס נובל, ובין השאר זכור כאדם ססגוני ומרתק, שידע לספר סיפורים מעניינים. הסיפור הבא מופיע באחד מספריו. פיינמן ביקר בברזיל, ובזמן שישב באחת המסעדות נכנס למקום רוכל ממוצא יפני, וניסה לשכנע את המלצרים לקנות ממנו חשבוניה.

"הרוכל החל לשוחח עם המלצרים, והציע להם אתגר: הוא טען שהוא מסוגל לחבר מספרים מהר יותר מכל אחד מהם. המלצרים הצביעו עליי – 'כן, כן… למה שלא תגיד את זה ללקוח שיושב שם?'. הרוכל הצטרף אליי, והמלצרים הביאו לי נייר ועיפרון.

האיש ביקש מהמלצר שיציע כמה מספרים לחבר. הוא ניצח אותי בקלות: בזמן שאני עדיין רשמתי את המספרים על הדף, הוא כבר סיים לחבר אותם. הצעתי שהמלצר יכתוב מספרים על שני דפים ויגיש לנו אותם באותו הזמן – אבל זה לא שינה דבר. הוא עדיין ניצח אותי בהפרש ניכר. הרוכל הנלהב הציע שנעבור לכפל. מישהו רשם לנו תרגיל, והוא ניצח אותי שוב – אם כי לא בהפרש גדול, כי אני די טוב בכפל.

ואז הציע הרוכל שנעבור לחילוק. זו הייתה טעות מצדו: ככל שהבעיה מסובכת יותר, כך יש לי יותר סיכוי לנצח. עשינו את תרגיל החילוק, וסיימנו בתיקו.

"ואז הוא קרא בלהט – 'שורש מעוקב!'. שורש מסדר שלישי! קשה למצוא תרגיל בסיסי קשה יותר. זה כנראה היה התרגיל המורכב ביותר שהיה מסוגל לפתור בעזרת החשבוניה. הוא רשם על הדף מספר אקראי, ואני עדיין זוכר אותו: 1729.03. הוא החל לעבוד עם החשבוניה שלו, מהמהם ומזמזם לעצמו, והוא עבד מהר כמו שד!"

מילה של הסבר, למי שימי התיכון רחוק מאחוריו. שורש מעוקב של מספר x הוא המספר שאם נכפיל אותו שלוש פעמים בעצמו נקבל את x. למשל, השורש המעוקב של 8 הוא 2, מכיוון ש-2*2*2 (2 בשלישית) הם שמונה. בסיפור, הרוכל מבקש מפיינמן למצוא את המספר שאם נכפיל אותו בעצמו שלוש פעמים, נקבל 1729.03.

"בינתיים, אני ישבתי ולא עשיתי כלום. אחד המלצרים שאל אותי – 'מה אתה עושה?'. הצבעתי על ראשי – 'חושב!' אמרתי, ואז רשמתי על הדף את המספר 12. זמן קצר לאחר מכן הוספתי – 12.002.

הרוכל סיים את החישוב וניגב את הזיעה ממצחו. "12!" הוא אמר. "הו, לא," אמרתי לו – "עוד ספרות, עוד ספרות!". הוא חזר לחשבוניה, ואני בינתיים הוספתי עוד שתי ספרות לתוצאה. לבסוף הרוכל הרים את ראשו – "12.01!". המלצרים היו מאד מרוצים. הם אמרו לרוכל – 'תראה! הוא פתר את התרגיל בחשיבה בלבד, ובתוצאה שלו יש יותר ספרות אחרי הנקודה!" הרוכל היה מבואס לגמרי, ועזב את המסעדה.

איך הצלחתי לנצח את החשבונית? המספר המקורי היה 1729.03. במקרה לגמרי ידעתי ש-12 בשלישית הם 1728, ולכן נותרה לי רק שארית של 1.03. נעזרתי במה שלמדתי בבית הספר לגבי שברים קטנים, וכך הצלחתי לשלוף כמות מרשימה של ספרות אחרי הנקודה.

מספר שבועות לאחר מכן, פגשתי את אותו הרוכל בלובי של מלון שבו שהיתי. 'אמור לי,' הוא שאל, 'איך הצלחת לפתור את התרגיל של השורש המעוקב מהר כל כך?'. התחלתי להסביר לו את החישוב שעשיתי, והוא הרים את החשבוניה שלו, מעביר את החרוזים מצד לצד. 'אה, כן…' הוא הסכים.

ואז הבנתי משהו: הוא לא יודע מספרים. עם החשבוניה, אינך צריך לזכור בעל פה תוצאות של חישובים – כל מה שאתה צריך לדעת זה לדחוף את החרוזים הקטנים מעלה ומטה. כל הרעיון העקרוני של חישוב מקורב היה זר לו לחלוטין. זו הסיבה שלא הצלחתי ללמד אותו איך מחשבים שורש מעוקב בראש, או כמה מזל היה לי שהוא בחר דווקא במספר 1729.03."

פיינמן ניצל את האינטואיציה המתמטית החזקה שלו כדי לבצע חישוב מקורב: סוג של 'קיצור דרך' בדרך אל הפתרון. פיינמן ניחש שהפתרון שהוא מחפש צריך להיות קצת יותר מ-12, וניצל את הזמן שחסך באמצעות הניחוש המוצלח כדי לחשב פתרון מדוייק יותר. לרוכל, לעומת זאת, לא הייתה אינטואיציה מתמטית שכזו, ולכן נאלץ להשקיע זמן רב רק כדי להגיע אל המספר 12.

אל תתנו להם בדידים!

סיפורו של פיינמן מדגים שגם החשבוניה הפשוטה, בדומה למחשבון האלקטרוני, אינה מעודדת בהכרח הבנת רעיונות מתמטיים – ואפילו להפך. כפי שציין פיינמן, כל מה שצריך לדעת בחשבוניה הוא איך להזיז את החרוזים הקטנים מטה ומעלה. הרוכל פיתח תלות מלאה בחשבוניה שלו ולא הייתה לו שום אינטואיציה מתמטית. אם המתנגדים לשימוש במחשבון היו מכירים את הסיפור של פיינמן, ייתכן והיו מתנגדים גם לשימוש בחשבוניה בבית הספר – ומסקנה זו גורמת לי להאמין שהוויכוח בעד או נגד מחשבונים אלקטרוניים בכיתות הוא למעשה רק חלק ממחלוקת גדולה ומהותית יותר, והיא השאלה – מהי הדרך הטובה ביותר ללמד מתמטיקה?

כדי להדגים את ההשערה שלי שהוויכוח בעניין מחשבונים הוא משני, והשאלה האמתית נוגעת לאופן העקרוני שבו יש ללמד מתמטיקה – אתן דוגמה שעוסקת בעזר לימוד שהוא אולי היפוכו הגמור של המחשבון: עזר הלימוד הפחות משוכלל והפחות מתוחכם שאפשר להעלות על הדעת…

ג'ורג קוז'נייר (Cuisenaire) היה מורה לחשבון בבית ספר יסודי בעיירה קטנה בבלגיה. קוז'נייר חיפש דרך פשוטה ואינטואיטיבית להעביר לתלמידיו הצעירים רעיונות מתמטיים מופשטים – מחיבור וחיסור ועד שברים. על פי עצתה של אשתו, הוא יצר בשנת 1931 סדרה של מקלות דקים באורכים שונים – ס"מ אחד, שני ס"מ, שלושה ס"מ וכו' – וצבע כל מקל בצבע שונה. באמצעות המקלות הצבעוניים ניתן להדגים באופן מוחשי את הפעולות והמושגים. למשל, כדי להראות ש- 2+2=4, ניתן להצמיד שני מקלות אדומים באורך שני ס"מ, ולהשוות אותם למקל סגול באורך ארבעה ס"מ. כדי להדגים את משמעות השבר 4\2, אפשר להראות שאורכו של המקל האדום הוא מחצית מזה של המקל הסגול, וכדומה.

קוז'נייר במקלות הצבעוניים שהמציא בכיתה בה לימד, ותלמידיו זכו לשבחים רבים בזכות הצטיינותם בחשבון. אף על פי, חלפו כמעט עשרים שנה עד שמתמטיקאי אחר שביקר בבית הספר באקראי הבחין בפוטנציאל שלהם, ופרסם את הרעיון ברבים. "מקלות קוז'נייר" זכו להצלחה גדולה, ונמצאים בשימוש בלמעלה ממאה מדינות בכל רחבי העולם.

מקלות קוז'נייר נכנסו לשימוש במערכת החינוך בישראל בשנות השבעים, הרבה בזכות הפרופ' פרלה נשר, מומחית להוראת המתמטיקה, ששימשה אז כיועצת במשרד החינוך. ה'בדידים', כפי שכונו בעברית, היו חלק משיטת חינוך – אידיאולוגיה פדגוגית, אפשר לומר – בשם 'השיטה הקונסטרוקטיבית', שהחלה לצבור תומכים בקרב המחנכים עוד בראשית המאה העשרים. בבסיס השיטה הקונסטרוקטיבית ניצב הרעיון שילדים אינם 'מבוגרים קטנים': הם אינם קולטים רעיונות חדשים באותה הדרך שבה עושים זאת מבוגרים, למשל על ידי הקשבה פסיבית למורה שעומד ליד הלוח. מחקרים רבים הראו שדרך הלימוד היעילה ביותר עבור ילדים היא באמצעות עצמים מוחשיים שהילד יכול לגעת בהם ולראות אותם במו עיניו. בנוסף, ילד לומד מהר כשהוא רוצה ללמוד – ואת המוטיבציה הזו אפשר לרכוש באמצעות תהליך גילוי: הילד מנסה לפתור בעיה כלשהי, והמורה שם כדי לסייע לו ולהעניק לו את הכלים והרעיונות שיסייעו לילד להגיע לתשובה בכוחות עצמו. הבדידים היו יישום מעשי של הרעיונות האלו: הילדים מצמידים את הבדידים אלו לאלו באופנים שונים כדי לפתור את התרגילים השונים, ובתוך כך מבינים מהם חיבור, חיסור וכדומה.

אך לא כולם היו תמימי דעים שהשיטה הקונסטרוקטיבית היא היא הדרך הטובה ביותר ללמד ילדים חשבון. קבוצה של אנשי היי-טק, מורים, הורים ופרופסורים למתמטיקה התאגדה בשנת 2002 תחת השם 'העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל', ושמה לעצמה למטרה להוציא את השיטה הקונסטרוקטיבית מבתי הספר ולהחליף אותה במה שרובנו מכירים כגישה המסורתית של חינוך: בחזרה אל שיעורים פרונטליים, עם שינון בעל פה של חישובים בסיסיים כגון לוח הכפל, ותרגול חוזר ונשנה של הטכניקות הבסיסיות של החשבון.

אבל מה לגבי הרעיונות שמאחורי השיטה הקונסטרוקטיבית, אתם שואלים: הרי אמרנו שמחקרים הראו שילדים אינם מבוגרים קטנים, ולומדים טוב יותר באמצעות מגע וכו'. ובכן, כל זה טוב ויפה ואולי מתאים למקצועות מסוימים – אבל זו אינה בהכרח הדרך הנכונה ללמד מתמטיקה. פרופ' רון אהרוני, מתמטיקאי בטכניון ואחד ממובילי העמותה לקידום החינוך המתמטי, טוען שילדים לומדים לעבוד עם בדידים לפי צבעים וגודל ולבצע פעולות מכניות של הצמדת המקלות אלו לאלו וכדומה – אבל הם לא בהכרח תופסים את הקשר המופשט שבין פעולות אלה ובין הרעיונות המתמטיים שמאחוריהם.

"מיותר לומר את המובן מאליו: שספירה היא דרך המלך אל החשבון. להחליף אותה במשחק בבדידים, הרי זה דומה לשיטת הוראת שפה זרה, שבה אין מלמדים את משמעותן של המלים, אלא מצמידים לכל אחת מהן איזשהו חפץ, ומגדירים משחק בחפצים הללו על פי כללים קבועים מראש. ייתכן שמישהו יוכל ללמוד את המשחק. להבין את השפה לא ילמד מכך."

חברה בולטת נוספת בעמותה הייתה תלמה גביש, מורה למתמטיקה לשעבר, שפרסמה מאמר בשם 'אל תתנו להם בדידים' ובו טענה כי –

"שימוש מסיבי באמצעי המחשה אחד יפגע בכל תהליכי שימור הקשורים למתטיקה, כיוון שהייצוג הפנימי שנוצר אצל הילד יהיה צמוד לגודל ולבדידים, והוא יתקשה להכליל את המושג."

כדי להוכיח את טענתה, גביש תיארה במאמרה מפגש עם ילדה בסוף כיתה א'. הילדה נתבקשה לפתור את התרגיל 2+3 בעזרת הבדידים, ועמדה במשימה בכבוד: היא חיברה בדיד אדום של 2 ובדיד ירוק של 3, והראתה שאורכם זהה לאורכו של בדיד צהוב של 5. אבל אז בקשה ממנה גביש לחזור על התרגיל, הפעם עם בלוטים במקום בדידים. הילדה לא מצאה את הידיים והרגליים. היא ניסתה לסדר את הבלוטים על השולחן כך שייצרו את צורת הספרה 3, אך כיוון שלא היו מספיק בלוטים – הרימה ידיים והכריזה אי אפשר לפתור את התרגיל עם בלוטים. במילים אחרות, הילדה לא הבינה ש-2 ו-3 מייצגים 'כמויות'. היא ניסתה לפתור את התרגיל באמצעי חזותי טהור: דהיינו, לשחזר את הגדלים והצבעים של הבדידים בעזרת בלוטים. במילים אחרות, למרות שהבדידים מאפשרים לילדים 'לחוש בידיהם' את הרעיונות המופשטים של המתמטיקה, כפי שרצו הדוגלים בשיטה הקונסטרוקטיבית – הרעיונות שהם מעבירים עשויים להיות שגויים. בעיני הילד, בדיד באורך של עשרה ס"מ לא בהכרח קשור לעשרה בלוטים, עשרה צעצועים או עשרה מפתחות: היכולת לתפוס שתכונת ה'עשר' נשמרת ללא שינוי בכל אחד מהיצוגים השונים האלה עדיין לא מבשילה לחלוטין בגיל צעיר זה.

אנשי עמותת החינוך המתמטי טענו שחוסר יכולת הילדים לתפוס את הרעיונות העקרוניים שמאחורי הבדידים הוא הסיבה לכך שישראל מתדרדרת באופן עקבי במבדקים השוואתיים בינלאומיים, ונמצאת אפילו אחרי 'מעצמות' כדוגמת רומניה, מולדובה ותאילנד. מתמטיקאי ונדבן ישראלי בשם דויד גרבש תרם לעמותה רבע מיליון דולר כדי לתרגם לעברית את ספרי הלימוד לכיתות א' ו-ב' של סינגפור, שתלמידיה זוכים באופן עקבי במקומות הראשונים באותם מבדקים בינ"ל.

פרופ' פרלה נשר לא הסכימה, כמובן, עם דעתם של המתנגדים. היא טענה שה'חזרה ליסודות' היא טעות, ניסיון חסר תוחלת להשתמש בשיטות הוראה שכבר הוכיחו את עצמן כלא יעילות.

"זכותם לטעון מה שהם רוצים, זכותם להפיץ את תכנית סינגפור. המתמטיקאים בארצות הברית התחילו מלחמה, ואלה שלנו התקנאו בהם והחליטו שהם רוצים קצת רעש ופרסום […] אם הם מציעים עכשיו לחזור ליסודות, אז הם לא יודעים מה נעשה בעולם. כשהם מציעים ללמד מה שלימדו בשנות ה-60, כשרק 9% עשו בחינות בגרות והיום עושים 50%, אז הם מנותקים מעולם החינוך."

התנגדותם העיקשת והקולנית של חברי העמותה לחינוך מתמטי – ובמיוחד המחקר המעמיק שערכה תלמה גביש והמאמרים שפרסמה – הוכיחה את עצמה כיעילה. המטוטלת של משרד החינוך התרחקה מעט מרעיונות הקונסטרוקטיביים, והתקרבה בחזרה אל השיטה המסורתית. ספרי לימוד החשבון הוחלפו בספרים חדשים, והשימוש בבדידים בכיתות נאסר. על פי ויקיפדיה, ישראל היא המדינה היחידה בעולם שבה מקלות קוז'נייר פסולים לשימוש על פי הנחיות משרד החינוך – על אף שעושה רושם שהשימוש במקלות הולך ודועך בלאו הכי במדינות רבות.

סביר להניח שזה אינו סוף הסיפור. המטוטלת של משרד החינוך תמשיך, קרוב לוודאי, לנוע הלוך ושוב בין הקטבים השונים של האידיאולוגיות הפדגוגיות, בהתאם להשפעותיהן של תנועות ואידיאולוגיות חינוכיות מרחבי העולם ובמיוחד מארצות הברית, שם נאבקות הגישות הפדגוגיות של לימוד החשבון זו בזו במשך כבר למעלה ממאה שנים, ורפורמה רודפת רפורמה.

"המתמטיקה החדשה"

אז מה הפיתרון? מהי הדרך הטובה ביותר ללמד מתמטיקה? התשובה לשאלה הזו תלויה, במידה רבה, במטרה לשמה אנחנו מלמדים את ילדינו מתמטיקה מלכתחילה – וגם מטרה זו לא תמיד ברורה ומובנת מאליה. מצד אחד אנחנו מעוניניים להקנות לתלמידים ידע מעשי ושימושי בחיי היום יום: איך סופרים את העודף בחנות, איך מחשבים את הריבית על ההלוואה ואת העמלה שגובה הבנק – חישובים שכל אזרח במדינה מתוקנת נתקל בהם מדי פעם בפעם. מצד שני, היינו רוצים להעניק לתלמידים בסיס איתן גם לגבי רעיונות מתמטיים מורכבים יותר – רעיונות שאולי אינם כה שימושיים ביום יום, אבל חיוניים למי שמתכנן ללמוד באוניברסיטה: מסטטיסטיקה עבור מדעי החברה ועד טריגנומטריה ופתרון משוואות במקצועות ההנדסה.

דוגמא טובה להשפעת התוכן הנלמד על הצלחת מאמצי החינוך המתמטי היא אפיזודה קצרה אך עגומה למדי בדברי ימי מערכת החינוך האמריקנית, בשם – 'המתמטיקה החדשה'.

בשנת 1957 שיגרה ברית המועצות את 'ספוטניק 1' – הלווין הראשון בחלל. צבא ארה"ב לא הופתע מהשיגור, קרוב לוודאי – אך הציבור האמריקני הוכה בהלם. אלו היו השנים הראשונות של המלחמה הקרה בין ארה"ב וברית המועצות, והעובדה שברית המועצות הצליחה להקדים את ארה"ב במרוץ לחלל זרעה פחד ובהלה שמא העליונות הטכנולוגית הסובייטית תאפשר לה להפיץ את הרעיונות הקומוניסטיים ברחבי העולם ולשבור את ההגמוניה האמריקנית.

מערכת החינוך האמריקנית דגלה, באותה התקופה, בלימוד של חשבון לצרכים מעשיים, כגון גאומטריה , על פני רעיונות מופשטים ומתקדמים יותר כגון אלגברה ותורת הקבוצות. הרציונל מאחורי גישה זו היה שהרעיונות המופשטים והמתקדמים אולי יזכו את התלמידים בהבנה מעמיקה יותר של מתמטיקה – אבל רבים מהתלמידים לא יזדקקו להם לעולם בבגרותם, וסביר להניח שישכחו אותם לגמרי לאחר שיסיימו את בית הספר. אך ההשפלה של ספוטניק 1 – כפי שראו זאת רבים – האירה באור מאוד לא מחמיא את הגישה הזו, והנשיא אייזנהאואר הזכיר בנאומיו לאומה שהמחסור בעובדים בעלי כישורים גבוהים ומתקדמים בתחומי המדע וההנדסה הוא האיום המשמעותי ביותר על בטחונה וחוסנה הלאומי של ארצות הברית.

הפחד והפטריטיות עשו את שלהם, וכשנה לאחר שיגור ספוטניק 1 העביר הקונגרס הצעת חוק בשם 'חוק החינוך הלאומי ההגנתי', במסגרתו הוגדלו תקציבי החינוך בתחומי ההנדסה והמתמטיקה פי שישה מכפי שהיו קודם לכן. השאלה המתבקשת הייתה – מה כדאי ללמד את הילדים בבתי הספר היום, כדי שארצות הברית תוכל לחזור ולהוביל את עולם הטכנולוגיה בעתיד? ההגיון הבריא אומר שכדאי לתת את המושכות בעניין הזה למתמטיקאים. אחרי הכל, מי מבין במתמטיקה וברעיונות שעומדים מאחוריה יותר מאשר האנשים שיוצרים אותה באוניברסיטאות? בכירי מערכת החינוך פנו למתמטיקאים בכירים באקדמיה וביקשו את עזרתם. התוצאה הייתה תכנית חינוכית בשם 'מתמטיקה חדשה' (New Math), שנכנסה לתוקף בתחילת שנות השישים.

הרעיון שמאחורי המתמטיקה החדשה הוא שהתלמידים בבתי הספר לא צריכים להתחיל מאפס בלימודי החשבון שלהם. כמישהו לומד נהיגה, הוא לא מתחיל בללמוד איך נוהגים עם הילוכים ידניים, או איך להניע את האוטו עם מנואלה – אלא מתחיל ישר מהילוכים אוטומטיים. באותו האופן, מדע המתמטיקה התקדם רבות במאות השנים האחרונות, והיום אנחנו מבינים לעומק את הרעיונות שעומדים מאחורי התרגילים הפשוטים – אז למה לא להעזר בידע הזה ולאפשר לתלמידים להגיע לרמות גבוהות יותר של הבנה, מהר יותר?

בהתאם לרוח חדשה זו, החלו תלמידי בית הספר ללמוד נושאים מתקדמים למדי כגון מטריצות אלגבריות ולוגיקה בוליאנית. בבתי הספר היסודיים למדו הילדים את תורת הקבוצות ושיטות ספירה לא עשרוניות. התלמידים התרכזו בפתרון בעיות באמצעות כלים ורעיונות מתקדמים, ופחות בשינון שיטתי של לוח הכפל, למשל.

דמיינו לעצמכם את הסצנה הבאה. ערב, אתם יושבים בסלון מול הטלוויזיה. הילד , בכיתה ג', ניגש אליכם עם ספר הלימוד בידו. 'אבא, אני לא לא מצליח לפתור את התרגיל בשיעורי הבית. אתה יכול לעזור לי?'. סוף סוף, אתם חושבים לעצמכם – זה הרגע להפגין קצת הורות רצינית, להראות לילד שאבא שלו חכם… תרגיל חשבון בכיתה ג' – כמה קשה זה יכול להיות? אתם פותחים את הספר ו… תרגיל חיבור במספרים על בסיס 6. בסיס 6? מה זה לכל הרוחות בסיס 6? ושאלות על תורת הקבוצות? אתם מגרדים בראש, מנסים להיזכר במה שלמדתם בשנה הראשונה באוניברסיטה, לפני עשרים מיליון שנה, פלוס מינוס. הילד מבין שתשובה הוא לא יקבל. פדיחה.

זה, פחות או יותר, מה שחוו הורים לילדים שלמדו בשיטת המתמטיקה החדשה בשנות הששים. גרוע יותר, גם חלק נכבד מהמורים לא הבינו את החומר: מורי תיכון זכו להדרכות ולשיעורי ערב, אבל רק חלק קטן ממורי היסודי קיבלו הדרכות שכאלה. המצב היה גרוע עוד יותר באזורים בעלי אוכלוסייה חלשה וענייה: לא רק שהמורים לא ידעו ללמד את החומר החדש, להורים הלא משכילים לרוב לא הייתה יכולת להשלים את החסר בבית וללמד את ילדיהם את החומר הדרוש.

בתחילת שנות השבעים כבר היה ברור לכולם שהמתמטיקה החדשה הייתה כישלון מהדהד. תוצאות המבחנים ההשוואתיים הדגימו בברור שהילדים אולי יודעים ש-3*2 זה כמו 2*3, אבל אין להם מושג מה תוצאת החישוב… המתמטיקה החדשה נזנחה והוחלפה בשיטות מסורתיות יותר. בדיעבד, ברור לכולם שיסודות איתנים חיוניים לשם לימוד מתמטיקה מתקדמת, ושאי אפשר לדלג בכזו קלות על שלבים בסיסיים בהוראת החשבון.

מטרה נעה

לסיכום. פתחתי את הפרק בשאלה ממוקדת ומוגדרת למדי: האם כדאי או לא כדאי לאפשר לתלמידי בית הספר היסודי להעזר במחשבונים. ראינו שהויכוח בשאלה הזו קיים כבר מאז שנות השבעים, פחות או יותר, ושככל הנראה אין לה תשובה מוחלטת ואבסולוטית.

אך הדיון בשאלה התמימה הזו הביא אותנו לעסוק בשאלה גדולה ומורכבת הרבה יותר, והיא – מהי הדרך הנכונה ללמד מתמטיקה בכלל? זו שאלה כה מורכבת וטעונה, עד שהמומחים לא מצליחים להסכים ביניהם אפילו על השימוש בעזרי לימוד בסיסיים ופשוטים כמו בדידים, שלא נאמר מחשבוני כיס משוכללים.

כמעט כולם מסכימים שידע בסיסי במתמטיקה חיוני ונחוץ לכל האזרחים בתרבות מתקדמת. בימי יוון העתיקה, מצרים ורומא זכו בעיקר ילדים ממשפחות אמידות לחינוך מתמטי, אך בעקבות המהפכה התעשייתית והקמת מערכות חינוך ציבוריות – כמעט כל ילד זוכה ללמוד את הרעיונות המתמטיים הבסיסיים, שבלעדיהן קשה אפילו לעשות קניות בסופרמרקט.

אך המושג 'ידע בסיסי' הוא מטרה נעה. במאה ה-19, ואפילו בתחילת המאה העשרים, אדם בוגר ממוצע הסתפק בידיעת ארבעה פעולות החשבון הבסיסיות. אם ידעת שברים ומספרים שליילים, מצבך היה מצוין. כיום, לעומת זאת, הרף גבוה בהרבה. כדי להתמודד בשוק העולמי ולא להיחשב למדינה נחשלת ומפגרת, אנו מעוניינים בחברה מתקדמת ויצרנית, שמסוגלת לתמוך בתעשיות היי-טק מתקדמות – וזה אומר מדענים, מהנדסים ובוגרי אוניברסיטאות רבים יותר. בימינו, כמעט כל תחום אקדמאי דורש הבנה בסיסית של מושגים מתמטיים שפעם נחשבו מתקדמים מאוד, וקורסים בסטטיסטיקה וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי הם קורסי חובה בשנה א' במרבית המקצועות. צורך זה מביא לכך שתלמידים צריכים לעזוב את כתלי בית הספר כשהם מצוידים בידע מתמטי איתן והבנת עקרונות ורעיונות מופשטים ומורכבים יותר מאלו שהיו נחשבים כהכרחיים לפני מאה שנים. עובדה זו מחריפה מאוד את הדיון בסוגיה העקרונית: מהי הדרך הנכונה ללמד מתמטיקה, כדי שתלמידים יגיעו לרמה גבוהה שכזו?

אם איננו יודעים לומר מהי הדרך הטובה ביותר ללמד מתמטיקה, הרי שאיננו יודעים לומר באלו כלים כדאי להיעזר. מי יודע – גם אם השימוש במחשבון אכן פוגע ביכולת התלמידים ללמוד מתמטיקה, אולי כלים ממוחשבים אחרים – תוכנות מתקדמות, סרטוני אנימציה אינטרקאטיביים וכו' – דווקא כן יהיו מועילים.

הניסיון האישי שלי כתלמיד ומורה לימד אותי שמורה בעל אינטואיציה חזקה, יכולת לזהות פערי ידע אצל התלמידים ויכולת להעביר רעיונות מופשטים בצורה ברורה וקליטה – הוא המפתח ללימוד מתמטיקה יעיל. רק כשנגלה את הדרך ה'נכונה' ללמד את המקצוע הזה נוכל להצביע על טכנולוגיה כזו או אחרת שתחליף את המורה האנושי. האם בכלל קיימת דרך נכונה, אחת ויחידה, ללמד מתמטיקה? זו, ידידי, שאלת מיליון הדולר. או 2,050,544 מיליון דולר – בבסיס 6.

ביבליוגרפיה ומידע נוסף

http://www.washmath.org/news/washmathNews_1.html
http://www.datamath.org/Story/War.htm
http://books.google.co.il/books?id=JiW3s0HuH2AC&lpg=PA188&ots=U8SYB3NniJ&dq=Edward%20Begle%20new%20math&pg=PA196#v=onepage&q=Edward%20Begle%20new%20math&f=false
http://stanford.dlconsulting.com/cgi-bin/stanford?a=d&d=stanford19720721-01.2.5&e=——-en-20–1–txt-txIN——-#
http://www.orianit.edu-negev.gov.il/matiaasd/files/%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94/%D7%9E%D7%90%D7%9E%D7%A8%D7%99%D7%9D%20%D7%91%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94/%D7%9E%D7%93%D7%95%D7%A2%20%D7%AA%D7%9C%D7%9E%D7%99%D7%93%D7%99%D7%A0%D7%95%20%D7%A0%D7%9B%D7%A9%D7%9C%D7%99%D7%9D%20%D7%91%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F-%D7%A4%D7%A8%D7%95%D7%A4%D7%A1%D7%95%D7%A8%20%D7%90%D7%94%D7%A8%D7%95%D7%A0%D7%99.htm
http://www.sphere.bc.ca/test/howto.html
http://www.math.wichita.edu/history/topics/calculators.html
http://www.ee.ryerson.ca:8080/~elf/abacus/feynman.html
http://www.ieeeghn.org/wiki/index.php/Ancient_Computers
http://www.ee.ryerson.ca:8080/~elf/abacus/history.html
http://www.thecalculatorsite.com/articles/units/history-of-the-calculator-2.php
http://www.haaretz.co.il/misc/1.864351
http://en.wikipedia.org/wiki/Sputnik_crisis
http://cms.education.gov.il/EducationCMS/Units/Mazkirut_Pedagogit/Matematika/KdamYesodiVeyesodi/TochnitLimudim/TochniyotLimudimYesodi.htm
http://highmath.haifa.ac.il/data/alle1-26/alle16/alle16-5.pdf
http://scimath.unl.edu/MIM/files/research/SheetsC.pdf
http://www.educationworld.com/a_curr/curr072.shtml
http://education.cu-portland.edu/blog/classroom-resources/pros-and-cons-of-allowing-kids-to-use-calculators-in-math-class/
http://www.csmonitor.com/1986/0509/dcalc-f.html
http://www.csun.edu/~vcmth00m/AHistory.html
http://www.math.rochester.edu/people/faculty/rarm/smsg.html
http://www.nctm.org/resources/content.aspx?id=34828
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Begle.html
https://youtu.be/UIKGV2cTgqA