אני חושב, משמע אני עצלן – על רנה דקארט

כתב: רן לוי

אם תכנסו לאתר של 'עושים היסטוריה' ותביטו על הרשימה המלאה של כל שלוש מאות עשרים ושניים הפרקים הקודמים של הפודקאסט, תמצאו שעשיתי פרקים על כמעט כל תחום שאפשר להעלות על הדעת. פיזיקה? יש. ביולוגיה? יש ויש. פסיכולוגיה, היסטוריה צבאית, בלשנות, חלל? יש, יש, יש ויש. אפילו על ציור וכדורגל, שני תחומים שבהם אני מחזיק שיא עולמי בחוסר-יכולת, עשיתי פרקים בעושים היסטוריה.

אבל יש תחום אחד שלא תמצאו ברשימה הארוכה הזו: פילוסופיה. ולא במקרה. במשך המון שנים לא הערכתי פילוסופיה, ולא הערכתי פילוסופים. אני חושב שזה משהו שנטוע באישיות שלי: אני מה שנקרא 'פותר בעיות.' אם משהו לא עובד, אני מתקן אותו. זאת אומרת, אם תשאלו את אשתי היא כנראה תגיד לכם שאני מדבר שטויות, כי היא כל הזמן מצביעה על קירות שצריך לצבוע, ענפים שצריך לגזום ופילטרים שצריך לנקות – ואני לא עושה עם זה שום דבר… אבל זה לא נכון: א', הבנתי כשביקשת ממני בפעם הראשונה. לא צריך להציק לי כל חצי שנה. וב', יש בעיות שאני נהנה לפתור יותר מאחרות.

אבל הנקודה היא שאני מעדיף לפתור בעיות מאשר לדבר עליהן: זו כנראה הסיבה שנעשתי מהנדס. פילוסופים, לעומת זאת…למונטי פייתון יש מערכון מעולה בשם 'כדורגל של פילוסופים': גרמניה נגד יוון בגמר אליפות העולם. בצד היווני אפלטון, אריסטו, סוקרטס וארכימדס – ובנבחרת הגרמנית משחקים קאנט, הֵגל, ניטשה, ובאופן מעט מפתיע, בקרנבאואר. השופט שורק לפתיחת המשחק ו…כל הפילוסופים מתחילים לדבר, להתלבט ולהתווכח, אבל אף אחד לא בועט בכדור. זו גם הייתה התפיסה שלי לגבי פילוסופיה בכלל. מה נסגר עם כל הדיבורים האלה? If you have to shoot, shoot – don't talk…

אבל אם כך, למה אתם מקשיבים לפרק על רנה דקארט, שהוא אולי הפילוסוף המפורסם ביותר בהיסטוריה? ובכן, השתנתי. אולי זה הגיל: כשהתחלתי את עושים היסטוריה הייתי בן 33, והיום אני בן 45. אולי זה בגלל שהיום, אחרי שלוש מאות עשרים ושניים פרקים של עושים היסטוריה, אני מתחיל להבין שלמרות מאות אלפי הספרים והמאמרים שקראתי, יש עוד כל כך הרבה שאני לא יודע, ושכנראה לא אדע לעולם. אולי פשוט הגזמתי עם הסמים, הסקס והרוקנ'רול.

תהה אשר תהה הסיבה, בשנים האחרונות אני מוצא את עצמי נמשך יותר ויותר לפילוסופיה – ולשאלות העמוקות, הקיומיות, שהפילוסופים מנסים לענות עליהן. מה זה היקום הזה שאנחנו חיים בתוכו? איך נוצרת 'מחשבה' בתוך מוחנו? למה המכונות של הרב-קו אף פעם לא עובדות כשאני ממש חייב לטעון את הכרטיס?

יחד עם הנטייה הפילוסופית הזו, מצאתי את עצמי מתעניין יותר ויותר במתמטיקה – ולא במקרה. כשהייתי ילד, חשבתי שמתמטיקה זה לפתור משוואות, לגלות לֵמה שווה X ומתי יפגשו הרכבות שיוצאות מחיפה ומתל אביב. היום אני מבין שכל הבעיות עם הרכבות הן פיקציה, כי הלו"ז של רכבת ישראל הוא כיאוטי ברמה הקוונטית – ומתמטיקה לא עוסקת במספרים: היא עוסקת ברעיונות, והמתמטיקאים לא מנסים לפתור משוואות – הם מנסים לגלות, דרך המשוואות, את החוקים והעקרונות ששולטים או מתארים את היקום שלנו.

וזה בדיוק מה שמרתק ברנה דקארט. דקארט לא היה רק הוגה דיעות – הוא גם היה מתמטיקאי, והרעיונות שלו – כפי שנגלה מיד – הושפעו מאוד מהיופי, מהסדר והאמיתות העמוקות שחושפת המתמטיקה.

ההשפעה ההפוכה של בית הספר

רנה דקארט (Rene Descartes) נולד בצרפת ב-1596, בעיירה שאז נקראה La Haye והיום נקראת דקארט, על שמו. אמו של דקארט נפטרה כשהיה כבן שנה, ואביו – יואכים דקארט, עורך דין מצליח – שלח אותו לגור עם סבתו, אמה של אמו. גם כשנישא יואכים מחדש, זמן מה לאחר מכן, הוא לא לקח את רנה אליו הביתה אלא השאיר אותו לגדול אצל הסבתא. אנחנו לא יודעים לומר איזו השפעה הייתה לצעד הזה על אופיו של דקארט הצעיר, אבל אנחנו כן יודעים שהרבה שנים לאחר מכן, כשיואכים דקארט הלך לעולמו – רנה דקארט אפילו לא טרח להגיע להלוויה שלו.

אבל משפחת דקארט הייתה אמידה מאוד ובעלת אדמות, כך שלפחות כסף לא היה חסר ורנה זכה לחינוך מצוין. הוא למד בבית ספר נוצרי, אבל נחשף שם לכל הקלאסיקות שהתרבות האירופאית יכלה להציע לאדם צעיר ומשכיל: הוא למד מתמטיקה, לטינית ויוונית עתיקה, קרא שירה ולמד את רעיונותיהם של אריסטו, אפלטון ושאר הפילוסופים היוונים הקלאסיים.

אולי תופתעו לשמוע שלכל החינוך המעולה הזה הייתה השפעה הפוכה לחלוטין על דקארט, מזו שניתן לצפות לה: במקום תשובות וידע, דקארט סיים את בית הספר בעיקר עם המון שאלות פתוחות וחוסר וודאות. כך כתב דקארט על ימי בית הספר שלו:

"הבטיחו לי שאוכל לרכוש ידע ברור וודאי על כל מה ששימושי בחיים. היה לי רצון עז ללמוד. אבל כשסיימתי את לימודיי, בשלב שבו האדם בדרך כלל מתקבל לשורותיהם של המלומדים – דעתי השתנה מהקצה אל הקצה. מצאתי את עצמי נבוך אל מול כל כך הרבה ספקות וטעויות, עד שחשבתי שלא יצא לי דבר מכל הניסיונות שלי לחנך את עצמי, וכל מה שעשיתי זה לגלות עוד ועוד על בורותי."

האשמה, אגב, לא הייתה בבית הספר עצמו: דקארט היה מרוצה מאוד מאיכות ההוראה, ובאחת ההזדמנויות אפילו המליץ לאב שהתייעץ איתו לשלוח את בנו לאותו בית ספר נוצרי. הבעיה הייתה במקור הידע שנלמד בבית הספר. דקארט חיפש תשובות ברורות ומוחלטות, אבל ככל שהעמיק לחפור הוא גילה שלמעשה, כל התשובות שהוא מקבל מהמורים שלו הן לא עובדות מוחלטות – אלא דעות. דעות של אנשים שמתו לפני המון המון זמן.

"למדתי שהפילוסופיה [הקיימת] עיצבה את מוחותיהם של האנשים המבריקים ביותר לאורך מאות שנים – ושלמרות זאת, אי אפשר למצוא בה ולו דבר אחד שאינו שנוי במחלוקת, ולפיכך שאינו נתון לויכוח. […] על כל עניין ודבר יש אינספור דעות שונות ומנוגדות, ולכל דעה יש אדם מלומד ומשכיל שתומך בה. אבל מכיוון שבסופו של דבר רק אחד מהם יכול להיות צודק, החלטתי שכל מה שהוא בגדר השערה – הוא לא הרבה יותר טוב מלא לדעת כלום."

אחרי שסיים את בית הספר, דקארט פנה ללימודי משפטים – אבל כנראה שעשה את זה רק כדי לרצות את אביו, שכן אחרי שסיים את התואר, הוא לא עבד יום אחד בחייו כעורך דין. במקום זאת, הוא החליט לצאת למסע ארוך ברחבי אירופה מתוך כוונה להכיר טוב יותר את העולם, לצבור חוויות, לפגוש אנשים מעניינים – וכך, אולי, למצוא תשובות לשאלות ולספקות שהטרידו את מנוחתו. לשם כך התגייס לצבאו של אציל הולנדי, שם שירת כמהנדס צבאי.

למזלו של דקארט, השנתיים שבילה בצבאו של אותו אציל הולנדי ומאוחר יותר בצבאו של אציל גרמני אחר, היו שנים שקטות יחסית, ללא קרבות דרמטיים – וכך יכול היה רנה להקדיש את זמנו ללימודי מתמטיקה, פיסיקה והנדסה, כמו גם שיחות עם אנשים מעניינים שפגש לאורך הדרך. נקודת השיא של תקופה זו בחייו של דקארט – ואולי הרגע שקבע את מסלול חייו מכאן ואילך – הייתה סדרת חלומות שחלם לילה אחד, כשהסתתר מהקור הגרמני בתוך בקתה קטנה ומחוממת. בראשון, דקארט חלם שהוא נאבק ללכת מול רוח עזה. החלום השני היה קצר יותר, וכלל רעש חזק – כמו רעם אדיר. החלום השלישי היה מפויס יותר, ובו גילה דקארט ספר שירה ומילון שניתנו לו על ידי זר מסתורי.

חוקרים רבים – כולל זיגמונד פרויד המפורסם – ניסו לנתח ולפרש את חלומותיו אלה של דקארט מזוויות שונות. דאקרט עצמו, בכל אופן, היה משוכנע שמדובר בלא פחות מהתגלות אלוהית. שני החלומות הראשונים היו אזהרה מאלוהים שעליו לשנות את מסלול חייו, והחלום השלישי היה חלום נבואי: המילון שראה דקארט הוא סמל לאיחוד של כל המדעים השונים תחת בסיס משותף אחד, וספר השירה מסמל את האיחוד של הפילוסופיה והחכמה – שתי המשימות שהטיל עליו אלוהים.

ההתגלות הזו הובילה את דקראט בן ה-23 לנסח לעצמו ארבעה עקרונות שינחו אותו בהמשך חייו.

"העיקרון הראשון – לעולם לא לקבל כאמת מוחלטת את מה שאני לא יודע בוודאות שהיא אמת מוחלטת.

העיקרון השני, לחלק כל בעיה קשה לכמה שיותר בעיות קטנות ופשוטות יותר, כדי שניתן יהיה להגיע לפתרון.

השלישי – לארגן את מחשבותי כך שהן מתחילות מהדברים הפשוטים ביותר והקלים ביותר שאפשר לדעת, ומהם לטפס, צעד אחר צעד, אל ידע מורכב יותר.

ואחרון, להקפיד תמיד על כל הפרטים הקטנים ביותר, כדי שאדע בוודאות שלא השמטתי שום דבר חשוב."

דקארט עוזב את צרפת

דקארט המשיך לטייל ברחבי אירופה במשך מספר שנים נוספות, עד שחזר לפריז כשהיה כבן עשרים ותשע. שם, בבירה הסואנת, פגש ועבד עם כמה מהמוחות המבריקים ביותר בצרפת באותה התקופה – אבל כל השאון וההמולה הזו לא התאימו לו. דקארט אהב להתבודד, לחשוב מחשבות עמוקות ולכתוב – וכל האנשים האלה שהסתובבו סביבו ורצו תשומת לב, זה לא ממש התאים לו.

בנוסף, לדקארט היה הרגל מסוים עליו הקפיד בקנאות. בתור ילד, דקארט היה חלש, חיוור וחולני מאוד: ייתכן ואפילו סבל משחפת. בגלל בריאותו הלקויה, בבית הספר בו למד הסכימו לסידור חריג: בזמן שכל הילדים קמו בשש בבוקר – דקארט קיבל אישור מיוחד להישאר לישון עד שעה אחד עשרה לפני הצהריים. דקארט התאהב בסידור הזה – ובינינו, אי אפשר להאשים אותו – ומכאן ועד סוף ימי חייו הקפיד לישון עד מאוחר. תרמה לכך העובדה שדקארט לא היה צריך לעבוד קשה: הכסף שקיבל בירושה מאביו הספיק לו כדי להתקיים בנוחות יחסית. אבל בפריז הוא היה מוקף בהמון אנשים, שחלק מהם – רחמנא ליצלן – התעוררו לפני ארוחת הצהריים ורצו לדבר איתו, וזה לא כל כך התאים לדקארט. על כן הוא עזב את פריז ועבר להולנד – וכדי לוודא שאף אחד לא יציק לו, הוא שמר מקום מגוריו בסוד וחשף אותו רק לכמה חברים טובים שהיו מעבירים לו מכתבים ממלומדים אחרים. מדי פעם בפעם אפילו החליף מקום מגורים, רק כדי לוודא שאף אחד לא יוכל לעקוב אחריו.

והייתה לדקארט עוד סיבה טובה לעזוב את צרפת ולעבור להולנד. תפיסת העולם השלטת באירופה באותם הימים הייתה תפיסת העולם של אריסטו, שהכנסייה הקתולית אימצה בחום. ברוב מדינות אירופה, מי שהעז להביע דיעות מנוגדות לתפיסת העולם הזו – בדרך כלל יצא מזה בשן ועין. אולי הדוגמה המוכרת ביותר בהקשר הזה היה הויכוח לגבי מקומו של כדור הארץ ביקום: אריסטו טען שכדור הארץ נמצא במרכז, והשמש ושאר כוכבי הלכת סובבים אותו. גלילאו גליליי, שהיה מבוגר מדקארט בכמה עשרות שנים בלבד, העז לפרסם ספר ובו הביע תמיכה בטענותיו של קופרניקוס לפיה דווקא השמש היא במרכז. הכנסייה הנוצרית לא אהבה את התעוזה הזו, וגלילאו נשפט למעצר בית עד תום ימי חייו.

דקארט שמע על מה שמתרחש באיטליה – ולא אהב את מה ששמע. הוא עמל באותה התקופה על כתיבת הספר הראשון שלו, שחלק מהרעיונות שהביע בו היו דומים מאוד לדברים שהשמיע גלילאו – ולכן חשש מתגובה דומה מצד הכנסיה בצרפת. הולנד, לעומת זאת, הייתה אחת המדינות הליברליות והפתוחות ביותר באירופה, ושם הרגיש דקארט בטוח יחסית.

אבל למרות הפלורליזם היחסי בהולנד, דקארט החליט בכל זאת לגנוז את הספר הראשון שלו ליתר בטחון – ולפרסם אותו רק אחרי מותו. כמה מחבריו, שקראו את כתב היד, הפצירו בו בכל זאת לשחרר לעולם חלק ממה שכתב שם – ודקארט הסכים. הוא פרסם כמה מאמרים או ספרונים, שעסקו בתחומים שונים ומגוונים כגון מטאורולוגיה ואופטיקה. בספר על האופטיקה, למשל, חשף דקארט את אחד מהישגיו המדעיים הראשונים: ניסוח מה שמכונה 'חוק השבירה', או בשמו המוכר יותר היום 'חוק סנל' – החוק הפיזיקלי המסביר את התנהגות קרני האור כשהן עוברות בין תווכים שונים, כגון מים ואוויר.

אבל הספר החשוב ביותר שפירסם דקארט באותה תקופה הוא ללא ספק הספר 'La Geometrie' – 'הגיאומטריה', שראה אור ב-1637. הספר הזה – היחיד שפרסם דקארט בתחום המתמטיקה, ואפילו לא ספר ארוך במיוחד, בסך הכל מאה עמודים – הוא אחד הספרים החשובים והמשפיעים ביותר בהיסטוריה של המתמטיקה. אפשר לזהות את ההשפעה הזו אפילו מבלי להכיר את תוכנו של הספר. כיצד? קצת בדומה לאופן שבו אפשר לזהות את ההשפעה של ה'גשש החיוור' על התרבות הישראלית, בזכות עושר הביטויים ואמרות השפר שנכנסו ללקסיקון שלנו: ביטויים כמו 'סע לשלום, המפתחות בפנים,'  'ישראבלוף' ו-'לשרוף את המועדון.' במקרה של דקארט, סימונים מתמטיים שאנחנו משתמשים בהם היום – למשל, x ו- y כמייצגים של נעלמים שערכם לא ידוע, a, b ו- c כמייצגים של קבועים (constants) שיכולים לקבל כל ערך שנרצה – ואפילו הייצוג של חזקה כספרה קטנה מעל ספרה גדולה יותר – הם סימונים שהמציא דקארט והופיעו לראשונה בספרו.

במרכז La Geometrie ניצבת אחת הבעיות הגיאומטריות העתיקות ביותר של תקופתו: בעיה בלתי פתורה המיוחסת למתמטיקאי יווני בשם פאפוּס (Pappus) מהמאה הרביעית לספירה – אבל מקורה האמיתי הוא ככל הנראה אפילו עתיק עוד יותר, בתקופתם של אריסטו ואפלטון כשמונה מאות שנים קודם לכן. כדי להבין את פשרה את החידה הגיאומטרית העתיקה הזו עלינו ראשית לומר כמה מילים על האופן שבו ניסו חכמי יוון העתיקה לפתור בעיות כאלה באופן כללי.

המהפכה המתמטית של דקארט

כולנו למדנו גיאומטריה בבית הספר היסודי, וכולנו זוכרים את המבנה הכללי של בעיות גיאומטריות: נותנים לנו צורה גיאומטריות בסיסית – קווים מקבילים, עיגול, משולש וכדומה – וכמה עובדות בסיסיות על הצורה הזו (למשל, שזוויות מסויימות שוות זו לזו או שהמשולש הוא שווה שוקיים). בעזרת הנתונים הללו, עלינו להוכיח אמת כלשהי, כמו לדוגמא שוויון בין שתי צלעות או זוג זוויות כלשהן.

ההוכחה הזו – וזה הפרט החשוב לענייננו – אסור לה שתעשה באמצעות מדידה: זאת אומרת, אסור לנו לקחת סרגל, למדוד את אורכן של שתי הצלעות על הדף ולומר משהו בסגנון – 'אורך כל צלע הוא שלושה ס"מ ושני מילימטרים, ולכן הן שוות.' לא: המתמטיקאים היוונים הסכימו לקבל אך ורק הוכחות המבוססות על אקסיומות בסיסיות וטענות לוגיות הנובעות מהן. במילים אחרות, אנחנו מתבקשים להוכיח רעיון עקרוני ואוניברסלי כלשהו, ולא רק לפתור את הבעיה הספציפית שמצויירת לנו על הדף.

'כלי העבודה' של הגיאומטרים היוונים היו אותם כלי העבודה הבסיסיים שאנחנו משתמשים בהם גם היום: סרגל ומחוגה. אבל כדי לוודא שההוכחות שלהם אכן אוניברסליות ועקרוניות, גם הסרגל והמחוגה בהם השתמשו הגיאומטרים בהוכחות שלהם לא היו כלים פיזיים ומוחשיים שאפשר להחזיק ביד – אלא סרגל ומחוגה אידיליים ומופשטים. ה'סרגל' הגיאומטרי האידילי הוא סרגל אינסופי שאין עליו סימונים – ז"א, אי אפשר למדוד בעזרתו מרחקים, אלא רק לצייר קווים ישרים – והמחוגה האידילית היא כזו שאפשר לפתוח אותה לכל רדיוס שרוצים, אבל ברגע שמרימים אותה מהדף – היא מתקפלת חזרה, כך שאי אפשר להשתמש בה כדי לשרטט שני עיגולים זהים או להשוות את הרדיוסים שלהם. במילים אחרות, כמו טבען של ההוכחות הגיאומטריות – גם הסרגל והמחוגה הגיאומטריים הם לא כלי עבודה אמיתיים, כי אם הפשטה רעיונית של אותם כלי עבודה.

מדוע אני מספר לכם את כל זה? מכיוון שמדי פעם בפעם נתקלו חכמי יוון העתיקה בבעיות גיאומטריות כל כך מורכבות, שנדמה היה שאי אפשר לפתור אותן באמצעות סרגל ומחוגה – אפילו לא בעזרת הסרגל והמחוגה ה'מופשטים' והאידילים. אפשר לומר שהבעיות האלה ייצגו סוג של 'קיר' שהגיאומטריה הקלאסית לא הייתה מסוגלת לשבור. מטבע הדברים, הבעיות המיוחדות האלה הן הבעיות שהכי סיקרנו מתמטיקאים כמו רנה דקארט – ואחת מהן הייתה הבעיה של פאפוס.

אני לא מתכוון לתאר לכם את הבעיה של פאפוס: קודם כל אנחנו בפודקאסט, ועד שאני אסיים לתאר לכם באופן מילולי את כל הקווים והזוויות אתם תרצו לחנוק אותי. ושנית, זה גם לא ממש משנה: מה שחשוב בבעיה של פאפוס זה הרעיון שמאחוריה, ולא הבעיה עצמה. המטרה בבעיה של פאפוס היא זו: עלינו למצוא קו שכל נקודה עליו מקיימת תנאי כלשהו שנתון בשאלה. בהתאם לתנאי הספציפי שאנחנו מקבלים בבעיה, הקו הזה יכול להיות אחד משלוש אפשרויות בסיסיות: עקומה פשוטה כמו קו ישר או עיגול, עקומה מורכבת יותר כמו אליפסה או פרבולה, ולבסוף עקומה ממש מורכבת כגון ספירלה.

פאפוס וגיאומטרים אחרים הצליחו לפתור את הבעיה עבור המקרים שבהם העקומה היא פשוטה: במקרים כאלה, אפשר בקלות יחסית למצוא נקודה או שתיים שמקיימות את התנאים הרצויים – ואז להעביר דרכן קו ישר או קשת באמצעות סרגל ומחוגה. במילים אחרות – פתרון קלאסי של בעיות גיאומטריות, לא שונה בהרבה ממה שאני ואתם עשינו בכיתה ה'. הבעיה הייתה במקרים שבהם הפתרון היה עקומה מורכבת כמו אליפסה או ספירלה. את העקומות המורכבות האלה אי אפשר היה לשרטט באמצעות סרגל ומחוגה – או במילים אחרות, זה אותו ה'קיר' שמעבר לו עושה רושם שהגיאומטריה הקלאסית מפסיקה לעבוד.

אבל דקארט הכיר סוג מסוים של מתמטיקה שלא הייתה קיימת בתקופתם של אוקלידס ועמיתיו: אלגברה, תחום שפיתחו מתמטיקאים מוסלמים מאות שנים אחרי תקופת יוון העתיקה. גם גיאומטריה וגם אלגברה עוסקות במספרים, כמובן – אבל כל אחת בצורה אחרת. בגיאומטריה מייצגים מספרים באמצעות מה שאפשר לכנות 'ישויות גיאומטריות' – למשל קו ישר או זווית – והקשרים בין המספרים מיוצגים באמצעות צורות גיאומטריות כגון משולשים ומעגלים. באלגברה, לעומת זאת, מייצגים מספרים כסמלים – דהיינו x, y, a, b וכדומה – ואת הקשרים בין המספרים האלה מייצגים באמצעות משוואות, כמו למשל – y=x+1.

שני התחומים המתמטיים האלה, גיאומטריה ואלגברה, היו שימושיים מאוד לפתרון בעיות מתמטיות מסוימות, כל אחד בעולם שלו – אבל העולמות האלה היו נפרדים זה מזה: בעיות בגיאומטריה אפשר היה לפתור אך ורק באמצעות הרעיונות הגיאומטריים, ובעיות באלגברה אפשר היה לפתור אך ורק באמצעות הכלים האלגבריים. אפשר לדמות את זה לברגים ומברגים: יש ברגים שבראש שלהם יש חריץ יחיד, ואפשר להבריג אותם רק עם מברג שטוח – ויש ברגים עם ראש בצורת צלב שאפשר להבריג רק עם מברג פיליפס. אם יש לך בורג עם חריץ יחיד ומברג פיליפס – אכלת אותה.

מדוע חיו האלגברה והגיאומטריה בעולמות שונים ונפרדים זה מזה? ובכן, נניח שיש לך בעיה מתמטית מסוימת באלגברה. אם אתה רוצה לפתור את אותה הבעיה באמצעות הכלים שמציעה הגיאומטריה – אתה צריך 'לתרגם' את הבעיה האלגברית לשפת הגיאומטריה. למשל, נניח שהבעיה האלגברית כוללת פעולת חיבור. אין בעיה! באלגברה, הסכום של X ושל Y הוא X+Y, ובגיאומטריה, הסכום הוא ישר חדש שהאורך שלו הוא האורך של שני הישרים המחוברים. זאת אומרת, פעולת חיבור באלגברה מתנהגת אותו הדבר בגיאומטריה.

אבל מה לגבי כפל? המ…בואו נראה. באלגברה, שתיים כפול שתיים שווה ארבע: דהיינו, מספר רגיל. אבל בגיאומטריה, מכפלה של שני ישרים היא לא מספר רגיל, אלא שטח: דהיינו, אם יש לנו ריבוע שאורך כל צלע שלו הוא שני ס"מ – מכפלת הצלעות היא שטח הריבוע, ארבע ס"מ רבועים. באותו האופן, התוצאה של x^3 – שבאלגברה היא, שוב, מספר רגיל לגמרי – הופך להיות נפח בגיאומטריה. אבל…מה לגבי x^4?….

כאן אנחנו נתקעים בקיר. באלגברה, איקס ברביעית הוא בסך הכל מספר רגיל: לדוגמא, 2^4 זה 16. אבל בגיאומטריה…. מה זה בכלל? נפח ארבע-מימדי?? איך אפשר לצייר את זה? המתמטיקאים היוונים לא היו מסוגלים לדמיין לעצמם גיאומטריה רב-מימדית – ובצדק, גם אנחנו לא מסוגלים. זו דוגמה לפעולה מתמטית שקיימת באלגברה אבל לא קיימת בגיאומטריה – ומכאן הנתק בין הגיאומטריה והאלגברה.

כאן נכנס לתמונה רנה דקארט, שבספרו 'הגיאומטריה' הצליח – בהברקה גאונית ממש – ליצור את ה'גשר' החסר בין הגיאומטריה והאלגברה. הוא עושה זאת באמצעות שימוש ברעיון חדש: יחידת אורך אידילית בשם unity, או בתרגום לעברית – 'יחידה'. מהי 'יחידה'? זה נשמע מסובך, אבל בעצם כולנו מכירים את הרעיון הזה מאז שהיינו ילדים. נניח שאנחנו רוצים לשחק כדורגל בדשא בהפסקה: לוקחים ארבעה תיקים, שמים שניים בכל צד של המגרש – והנה, יש לנו שני שערים. אבל איך נוודא ששני השערים הם בדיוק באותו רוחב? טוב, זה פשוט: לוקחים ילד אחד, אומרים לו – תמדוד שלושה צעדים, ובודקים שכל שער הוא ברוחב של בדיוק שלושה צעדים. מה האורך המדויק של כל צעד של הילד? חצי מטר? שבעים וחמש וחצי ס"מ? זה לא חשוב. מה שחשוב זה ששני השערים הם ברוחב של שלושה צעדים כל אחד, וזה הכל. במילים אחרות, שכל שער הוא ברוחב של שלוש יחידות. וזו המשמעות של Unity, או יחידה אידילית, במובן של דקארט: האורך האמיתי של היחידה לא משנה, אלא רק היחסים בין הישרים כפי שהם נמדדים ביחידות האלה: אם ישר אחד הוא פי שניים יותר ארוך מישר אחר, אנחנו נאמר שהאורך שלו הוא שתי יחידות.

באמצעות השימוש ברעיון החדש של 'יחידה', דקארט הראה כיצד הוא יכול להפוך כל פעולה מתמטית באלגברה – למשל, כפל ואפילו הוצאת שורש – לפעולה מקבילה בגיאומטריה. איך הוא בדיוק עושה את זה – זה קצת מסובך להסביר בפודקאסט שאין בו אלמנט ויזואלי, אבל אני מבטיח לכם שזה מאוד פשוט: ילד בכיתה ה' יכול להבין את זה די בקלות.

אחרי שהוכיח שהוא יכול להמיר פעולות חישוב באלגברה לשרטוטים גיאומטריים – ולהיפך – דקארט חוזר לבעייה של פאפוס. הוא מראה כיצד הוא יכול לתרגם את העקומות המסובכות שהן הפתרונות הגיאומטריים האפשריים של הבעיה – אליפסה, פרבולה וספירלה – למשוואות אלגבריות כמו X^2=Y^2+A. דהיינו, הוא מתרגם את בעיית פאפוס מהעולם הגיאומטרי שבו היא חיה כרגע – לבעייה שקולה בעולם האלגברי. יותר מזה, דקארט למעשה מוכיח שכל הישויות הגיאומטריות האלה – אליפסה, פרבולה וכו' – הן למעשה פתרונות של משוואות אלגבריות.

ולמה זה חשוב? כי את בעיית פאפוס, שהיא בעיה שכפי שאמרנו קשה לפתור אותה באמצעות סרגל ומחוגה גיאומטריים – קל לפתור באמצעות טכניקות אלגבריות. במילים אחרות, דקארט לקח בעיה גיאומטרית קשה לפתרון, והפך אותה לבעיה אלגברית קלה לפתרון.

התובנה הזו התפוצצה על עולם המתמטיקה כמו זיקוק ענק ביום העצמאות: דקארט הפיל את ה'קיר' שחסם את הגיאומטריה, ולמעשה איחד את הגיאומטריה והאלגברה לגוף אחד. בכך פתח דקארט בפני המתמטיקאים עולם חדש של אפשרויות – דרך חדשה לגמרי להתבונן על כל מיני בעיות שבעבר נחשבו לבלתי ניתנות לפתרון. כמה עשרות שנים לאחר מכן לקחו אייזיק ניוטון וגוטפריד לייבניץ את ההברקה הזו של דקארט, ויצרו בעזרתה את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי – אבן היסוד של כמעט כל תחום במדע המודרני.

אגב, כאן צריך לציין עובדה מעניינת. מערכת הצירים שאנחנו משתמשים בה במתמטיקה – ציר X וציר Y, שמאונכים זה לזה – קרויה 'מערכת הצירים הקרטזית', על שמו של דקראט. אבל בניגוד למה שמקובל לחשוב, דקארט לא המציא את מערכת הצירים שקרויה על שמו: היא כלל אינה מופיעה בספר שלו. אם כן, למה אנחנו מכנים את מערכת הצירים הזו 'קרטזית', על שמו? האם דקארט קיבל כאן קרדיט על משהו שלא הוא המציא?

לא בדיוק. אם חושבים על זה, הקונספט של מערכת הצירים כמו שאנחנו מכירים אותה מבוסס כולו על הרעיון של Unity, 'יחידה'. אם אבקש מכם לצייר לי מערכת צירים כזו, אתם תציירו קו אחד אופקי, קו אחד אנכי, ואז תסמנו על הקווים האלה סימונים במרחקים קבועים – 1, 2, 3 וכו'. המרחקים האלה הם למעשה יחידות! אנחנו אומרים שנקודה כלשהי במערכת הצירים נמצאת במרחק של 3 יחידות על ציר X ושתי יחידות בציר Y – אבל אנחנו לא אומרים שמדובר בשלושה ס"מ או בשני קילומטרים – רק 'יחידות'. במילים אחרות, זהו אותו הרעיון הבסיסי של דקארט – רק קצת משוכלל יותר ונוח לעבודה. מי שהגה אותו היה מתמטיקאי אחר, שתרגם את ספרו של דקארט מצרפתית ללטינית. כחלק מהתרגום הזה, כדי להסביר טוב יותר את הרעיונות המהפכניים של דקארט – הגה אותו מתמטיקאי את הרעיון של מערכת צירים – שהפך ברבות השנים לאבן הפינה של המתמטיקה המודרנית.

אם כן, דקארט חולל מהפכה במתמטיקה – ועובדה זו לבדה דיה כדי להכניס אותו לספרי ההיסטוריה. אבל La Geometrie מעניין גם מסיבה נוספת, שקשורה בקשר הדוק לפילוסופיה שהגה דקארט כמה שנים מאוחר יותר.

בספר שלו, דקארט מדגים לנו את עוצמתה של המתמטיקה – וליתר דיוק, את עוצמתה של השיטה, ה'מתודה' המתמטית: הוא מתחיל מרעיון בסיסי ופשוט ככל האפשר – במקרה הזה, סדרה של קווים וזוויות מוגדרים – ומפעיל עליהם סדרה של צעדים לוגיים קטנים, פשוטים ובסיסיים עד שהוא מגיע לתוצאה הרבה יותר מורכבת ומעניינת. והכי חשוב, התוצאה שהוא מגיע אליה – במקרה הזה, החיבור בין האלגברה והגיאומטריה – חייבת להיות נכונה, מכיוון שהיא מורכבת מרעיון בסיסי ופשוט ועליו סדרה של צעדים קטנים שכל אחד מהם בפני עצמו נהיר, ברור וקל להוכחה.

הרעיון הזה הוא לא מקורי של דקארט, כמובן – ככה עובדת המתמטיקה מאז ימי הבבלים והפרסים – אבל זה רעיון שמשתלב בצורה נפלאה בארבעת העקרונות הבסיסיים שדקארט ניסח לעצמו בעקבות החלומות שחלם – עקרונות שמטרתם הייתה לעזור לו להבין טוב יותר מה נכון בעולם שלנו, ומה לא נכון. זוכרים? לחלק בעיה קשה לכמה בעיות קטנות ופשוטות יותר, להתחיל מרעיונות פשוטים ולטפס מהם אל ידע מורכב יותר, והכי חשוב – "לעולם לא לקבל כאמת מוחלטת את מה שאני לא יודע בוודאות שהיא אמת מוחלטת," או במילים אחרות – את מה שאני לא יכול להוכיח שהיא אמת מוחלטת. או כפי שניסח זאת דקארט בעצמו:

"השרשראות הפשוטות והארוכות של הסקת מסקנות שבהן נעזרים הגיאומטרים כדי לפתור אפילו את הבעיות הכי מורכבות שלהם, גרמו לי להבין שכל הדברים – כל הידע שאליו מסוגל האדם להגיע – מחוברים זה לזה באותו האופן, ושאין שום דבר שהוא כל כך זר ומוזר לנו עד שלא נוכל להבין אותו, או חבוי כך שלא נוכל לגלות אותו – וזאת בתנאי שנזהר לא לקבל שקר כאמת, ותמיד נשָמר במחשבותינו את הסדר ההכרחי כדי להסיק אמת אחת מתוך אמת אחרת."

וזה היה הבסיס להברקה הגדולה הבאה של דקארט: הפילוסופיה שלו, שהיא למעשה הפילוסופיה שעליה מושתת כל המדע המודרני.

המדע של אריסטו

כשאנחנו באים לדבר על המדע ה'מודרני', כדאי ראשית להסביר מה היה כאן קודם, לפני המדע המודרני. ובכן, ה"מדע" הזה היה המדע של אריסטו – שכאמור, בזכות הכנסיה הנוצרית שאימצה אותו לחיקה, הפך לבסיס של כל ההגות המדעית והתיאולוגית במשך למעלה מאלף וחמש מאות שנים, עד שלהי ימי הביניים. הפילוסופיה של אריסטו מורכבת מהרבה נדבכים, כמובן, אבל אנחנו נתמקד באחד מהם – והוא האופן שבו הסביר אריסטו (או נכון יותר לומר, המלומדים שפירשו את כתביו) את העולם שבו אנחנו חיים.

אתם יודעים מה, בואו נעזוב לרגע את האולפן ונצא החוצה. אני נמצא עכשיו על הגג של הבניין שלנו ברמת גן, בקומה השישית, ואני מחזיק ביד אבן. עכשיו, אני אקח את האבן הזו ואשחרר אותה מעבר למעקה של הגג…. טוב, אז האבן נפלה למטה. זה היה צפוי. אבל…למה? למה שהאבן תיפול למטה, ולא תרחף באוויר? התשובה של אריסטו הייתה שמקורה של האבן הוא בבטן האדמה, והאבן רוצה לחזור אל כור מחצבתה – ולכן, כשניתנת לה האפשרות, האבן שואפת להתקרב אל האדמה, דהיינו אל מרכז כדור הארץ. אותו ההגיון היה תקף לגבי כל דבר ולגבי כל תופעה.  מדוע אוויר חם מתרומם? כי הוא רוצה להיות למעלה. מדוע לציפור יש כנפיים? כי היא רוצה לעוף, ולכן הגוף שלה מתארגן בצורה שתאפשר לה לעוף. במילים אחרות, הפילוסופיה של אריסטו מסבירה את העולם שלנו במונחים של 'יעד סופי': לכל דבר בעולם יש מטרה, והמבנה וההתנהגות של אותו דבר תואמים למטרה שהוא מבקש להשיג.

אני מניח שאתם יכולים להבחין מיד בנקודת התורפה הגדולה ביותר של התפיסה הזו, והיא שלאבן, למשל, אין 'רצון' והיא לא שואפת לשום דבר: מי יודע, אם היה לה רצון, אולי היא הייתה מעדיפה שיחרטו עליה את המילה 'אהבה' וימכרו אותה בשלוש מאות שקל בחנות מתנות. אבל אתם יודעים מה, בואו נהייה לארג'ים ונניח שלאנשים בימי הביניים, שלא הבינו בדיוק מהי תודעה ומה מבדיל בין יצור חי לעצם דומם, לא הייתה סיבה עקרונית להניח שלאבן אין רצונות משלה.

אפילו אז, לתפיסה הזו יש נקודת תורפה נוספת ולא פחות משמעותית, והיא העובדה שבשורה התחתונה – היא לא מסבירה שום דבר. אם אני אומר שהאבן נופלת כי היא רוצה ליפול – זה לא באמת הסבר, כי הוא לא מלמד אותי שום דבר חדש על העולם. הוא לא מלמד אותי על החוקים השולטים בהתנהגותן של אבנים אחרות, שאולי 'רוצות' דברים אחרים. לומר שגופה של ציפור נראה כמו שהוא נראה כי זו ציפור – שזה, בגדול, מה שאומר הסבר של אריסטו – זה פחות או יותר כמו להגיד – 'למה? ככה.'

התשובה הזו השביעה את רצונם של המלומדים במשך למעלה מאלף שנה – אבל בשלהי ימי הביניים, תקופתם של דקארט וגלילאו, היא כבר לא הייתה כל כך משביעת רצון. הסיבה לכך הייתה ששלהי ימי הביניים היו תקופה של שינוי ובעיקר – הטלת ספק. רק מאה שנה קודם לכן התגלתה יבשת אמריקה, 'העולם החדש, יבשת אדירה מלאה באנשים משונים וחיות מופלאות – אבל בתנ"ך, מקור כל הידע והחוכמה במשך אלפי שנים – לא היה כתוב על זה כלום. המצאת הטלסקופ פתחה את שמי הלילה בפני האסטרונומים, ואלה גילו דברים שלא הסתדרו עם תפיסת העולם של אריסטו – למשל, שכוכבי הלכת נעים במסלולים אליפטיים, ולא במסלולים מעגליים מושלמים. הגילויים החדשים האלה ואחרים הביאו מדענים רבים עוד לפני תקופתו של דקארט – אנשים כמו קופרניקוס וגלילאו – להטיל ספק בהסברים העתיקים ולחפש תשובות חדשות.

אני חושב, משמע אני קיים

זו גם הייתה מטרתו של דקארט, אבל בניגוד להוגים אחרים שרק ניסו 'לתקן' את תפיסת העולם של אריסטו ולשנות חלקים ממנה – דקארט הלך על כל הקופה. נמאס לו מהויכוחים האינסופיים בין המלומדים לגבי כל רעיון וכל השערה. למה שהפילוסופיה לא תהיה כמו המתמטיקה, שאל דקארט את עצמו: במתמטיקה אין ויכוחים. הרי אם הוכחת רעיון מתמטי מסוים לפי כל הכללים הנכונים, הרעיון הזה חייב להיות נכון ואין עליו שום עוררין. למה שזה לא יהיה אותו הדבר גם בשאר התחומים במדע?

הבעיה, הבין דקארט, נמצאת בבסיס. כדי לבנות טיעון או רעיון שיהיה bullet proof – דהיינו, טיעון שאי אפשר לערער על נכונותו – חייבים להתחיל מבסיס איתן ומוצק, מאיזו אמת יסודית שאין עליה שום עוררין – ועל גבה לבנות את הטיעון השלם. אבל כשבחן דקארט את הרעיונות והתפיסות שהסתובבו סביבו, הוא לא מצא שום בסיס איתן, שום אמת יסודית שכזו. כשסקר את כל ההשערות והרעיונות שהציעו המלומדים שסביבו, הוא מצא שכולן, ללא יוצא מן הכלל, מסתמכים בסופו של דבר על השערות וטיעונים של מלומדים אחרים, או על דברים שנכתבו בתנ"ך. ומי אמר שמה שכתב אריסטו הוא בהכרח נכון? מי אומר שאנחנו מפרשים נכון את מה שכתוב בתנ"ך?

במילים אחרות, כל מִגדלי הידע וכל התאוריות – כולם נבנו על בסיס רעוע ועקום שדקארט לא היה מוכן לקבל כאמת מהשמיים.

מה עשה דקארט? ובכן, בשבוע שעבר אירחתי את כל המשפחה המורחבת לארוחת יום שישי. היה כיף, כולם אכלו ונהנו – אבל אחר כך, כשכולם הלכו הביתה, נכנסתי למטבח וראיתי את ערימת הכלים הענקית שבכיור… היה לי רגע אחד קצר שבו תהיתי אם אולי לא עדיף פשוט לשרוף את כל הבית ולהפעיל את הביטוח. כמובן שלא עשיתי את זה כי, תכל'ס אני מפחד מאישתי – אבל זה מה שדקארט החליט לעשות אחרי שבחן את המצב העגום של החשיבה המדעית של ימיו. הוא התחיל לעבור על כל הרעיונות והתיאוריות שהכיר – ולהטיל בהם ספק. בכולם. הוא לא הסכים לקבל שום רעיון – מילולית, שום רעיון – שלא היה נכון באופן מוחלט. כל כך נכון עד שאי אפשר להטיל בו ספק. ואתם יודעים מה הוא גילה? שאין אף רעיון כזה. שום דבר. כל תיאוריה מדעית וכל השערה תיאולוגית שבדק, כולן הסתמכו על משהו שאמר מישהו אחר – איזה חכם יווני, או איזה קדוש נוצרי או משהו שנכתב באיזה ספר.

יכול להיות שחלק מכם חושבים לעצמכם עכשיו: רגע, זה לא יכול להיות. חייב להיות משהו שהוא בטוח ומובן מאליו. למשל, האבן שנופלת כשעוזבים אותה. לפחות בזה אנחנו יכולים להיות בטוחים, נכון? הרי אנחנו יכולים לוודא את זה במו עינינו: ניקח אבן, נעזוב אותה ונראה אותה נופלת. לפחות העובדה הזו חייבת להיות נכונה, לא? אבל לא, אפילו את זה דקארט לא הסכים לקבל. החושים שלנו, טען דקארט, מטעים אותנו כל הזמן. למשל, אנחנו מסתכלים על הירח ורואים שהוא פחות או יותר באותו הגודל של השמש – וזה לא נכון. השמש הרבה יותר גדולה מהירח – אבל מכיוון שהיא הרבה יותר רחוקה ממנו, זה רק נראה לנו כאילו היא קטנה. אם סותמים לך את האף, לבצל ולתפוח אדמה יש את אותו הטעם בדיוק. קוסם יכול לחתוך אישה לשתיים כנגד עינינו – אבל היא קמה מהשולחן בריאה ושלמה. אי אפשר לסמוך על החושים שלנו.

דקארט אפילו הלך צעד אחד יותר רחוק. אולי, שיער לעצמו דקארט, יש איזה שהוא שד מרושע שהשתלט על גופי ומוחי, ומנסה להתל בי. הוא שותל בראשי מחשבות ואמונות לא נכונות, הוא מקרין לתוך עיני דברים לא נכונים. אולי כל העולם שאני חווה – הכל! – הוא רק חלום בהקיץ. בלוף אחד גדול!…

אני חושב שבשלב הזה רובנו היינו מרימים ידיים. אם אתה לא יכול לסמוך על שום דבר, אז מה הטעם בהלך המחשבה הזה? הוא לא מוביל לשום דבר פרודוקטיבי. עדיף להישאר עם האמונות והתיאוריות הקיימות – שם, לפחות, יש משהו שאפשר לעבוד איתו, לבנות בעזרתו תיאוריות והשערות חדשות. אבל דקארט, למרבה ההפתעה, הצליח למצוא משהו שאין בו ספק. אחרי שנפטר מכל הרעיונות והתיאוריות, אחרי שריסק את הכלים בכיור, שרף את הבית, הביא שופל ויישר את הקרקע בחזרה לאפס – הוא מצא משהו. והמשהו הזה?

אני חושב, משמע – אני קיים. בלטינית – Cogito, Ergo Sum.

נניח, טוען דקארט, שהכל חלום. שכל דבר שאני חווה הוא זיוף. יש רק דבר אחד שאי אפשר לזייף – והוא המחשבה. עצם העובדה שאני חושב, אפילו אם המחשבה הזו היא שקרית ומוטעית – אומר שאני מסוגל לחשוב, ומכאן שאני, הישות החושבת, קיים. השד לא יכול לגרום לי להאמין שאני חושב, אם אני אני לא מסוגל לחשוב.

זו האמת הבסיסית ביותר שזיהה דקארט, ועכשיו – כשהוא אוחז בידיו את האמת הבסיסית והבלתי ניתנת להכחשה הזו – הוא החל לבנות עליה מחדש את תפיסת העולם שלו, טיפין טיפין, בסדרה של צעדים לוגיים קטנים ופשוטים ככל האפשר.

עכשיו, כדאי לציין שתי עובדות חשובות. הראשונה – דקארט לא באמת האמין שיש שד מרושע, ושכל מה שאנחנו חווים הוא סוג של הזיה או חלום. אלו בסך הכל טיעונים לוגיים שמטרתם לאפשר לו לקחת את הספק שלו עד הסוף, עד לרעיונות הכי מופשטים שדקארט יכול היה להעלות בדעתו. אפשר לראות בשד של דקארט מקבילה לסרגל ולמחוגה האידילים של הגיאומטרים היוונים שגם הם, למרות שאינם קיימים במציאות, מאפשרים לנו להגיע למסקנות ולתובנות בעלי משמעות.

העובדה השניה היא שהתיאוריות והרעיונות שבנה דקארט על סמך אותה אמת בסיסית – 'אני חושב, משמע אני קיים' – לא כולם נכונים. למרות רצונו העז והמאמצים הכבירים שהשקיע דקארט כדי לוודא שכל מה הוא טוען חייב להיות אמת מוחלטת – בסופו של דבר, דקארט היה בן אדם וגם הוא לא יכול היה להשתחרר לגמרי מהאמונות והתפיסות שלו עצמו. למשל, דקארט היה נוצרי אדוק שלא פקפק לרגע בקיומו של אלוהים. נכון: זה לא תואם לתפיסת העולם הספקנית שלו. מי אמר שאלוהים קיים? ולמרות זאת, דקארט לא הטיל לרגע ספק שאלוהים אכן קיים. למעשה, אחד הטיעונים הראשונים שלו כשניגש לבנייה מחדש של הפילוסופיה שלו על בסיס הרעיון 'אני חושב, משמע אני קיים' – הוא שאלוהים, שהוא בהגדרה ישות מושלמת שאין לה אפילו טיפה של רשעות – ודאי לא ירשה לשד המרושע להתל כך בבני האדם המסכנים, ולכן לפחות חלק ממה שאנחנו רואים ושומעים באמצעות החושים שלנו, חייב להיות אמיתי.

כתוצאה מכך, לדקארט היו המון טעויות בתפיסת העולם שלו. למשל, הוא האמין בהפרדה מוחלטת בין המוח – הרקמה הספוגית שנחה לנו בין האוזניים – והשכל, שהוא אוסף המחשבות והרגשות שאנחנו חווים. השכל, טען דקארט, "חי" במישור אחר ונפרד מהגוף. היום אנחנו יודעים שכל מה שאנחנו מכנים "שכל" הוא תוצר של הפעילות החשמלית שמתנהלת בתוך הרקמה הספוגית הזו. דקארט גם האמין בקיומו של חומר דמוי-אתר שיוצר מערבולות בחלל, ושהמערבולות הללו נושאות עימן את כוכבי הלכת סביב השמש.

השפעתו של דקארט על המדע המודרני

אבל אתם יודעים מה? זה לא משנה. הטעויות העובדתיות של דקארט לא חשובות: מה שבאמת חשוב היא השיטה שלו, המתודה – כשמו של הספר הראשון שלו, זה שכתב אבל לא פרסם מחשש להתנכלות מצד הכנסייה. למתודה הזו הייתה השפעה אדירה על אנשי המדע שבאו אחרי דקארט, ועל האופן שבו חקרו את העולם.

דקארט אומר, בפשטות – אל תקחו שום דבר כמובן מאליו. אל תקבלו כתבים עתיקים או דברים שאמר פרופסור מכובד כזה או אחר כאמת מוחלטת, אלא אם בחנתם אותם ווידאתם שהם ניצבים על בסיס איתן. דקארט דחה את הסמכות והמסורת – שני עמודי התווך של המדע בימי הביניים – והחליף אותם במתודה המתמטית, זו שדורשת הוכחות והיקשים לוגיים אובייקטיביים. "אמת" ו"וודאות", אומר דקארט – הם לא אותו הדבר. וודאות זה מצב מנטלי: משהו יכול להיות לא נכון, ואני עדיין יכול להאמין באופן ודאי שהוא כן נכון. אמת, לעומת זאת, היא עניין אובייקטיבי: אם משהו הוא אמת, הוא אמת אפילו אם אני או מישהו אחר מאמין שהוא לא נכון.

לנו, שחיים במאה העשרים ואחת, הדברים האלה נשמעים אולי כמובנים מאליהם. כשאני, כאדם חילוני במאה העשרים ואחת, קורא פסוק כלשהו מהתנ"ך – אני לא מניח אוטומטית שהוא נכון: אני אבדוק, אני אקרא, אולי אקשיב לאיזה פרק של 'עושים תנ"ך' – ורק אז אחליט אם לקבל את מה שנכתב בו. אבל למלומדים בימיו של דקארט, הדבר הזה לחלוטין לא היה מובן מאליו. עבורם – או עבור רובם, בכל אופן – אם משהו היה כתוב בתנ"ך, או אם משהו נכתב על ידי אריסטו – זו הייתה אמת, נקודה.

עכשיו, אני מקווה, אתם מבינים מדוע מכונה דקארט 'אבי הפילוסופיה המערבית המודרנית'. הוא העביר אותנו מעידן שבו התקדמות מדעית הייתה, בעיקרון, לא יותר מפרשנות חדשה של רעיונות ישנים – לעידן שבו קדמה מדעית פירושה בחינה ספקנית של העובדות, עריכת ניסויים מדויקים, ושאיפה לאמת אובייקטיבית שמעניקה לנו הסברים בעלי משמעות על העולם שסביבנו, במקום טענות ריקות וחסרות תועלת בסגנון 'האבן נופלת כי היא רוצה ליפול.' דקארט מוטט, הלכה למעשה, את תפיסת העולם של אריסטו – והוא ידע את זה. במכתב ששלח לאחד מחבריו הוא כתב –

"[הספרים שלי] מכילים את כל היסודות של הפיסיקה שלי – אבל בבקשה ממך, אל תספר זאת לאנשים, מכיוון שזה יכול להקשות על התומכים של אריסטו לקבל את הדברים. אני מקווה שהקוראים יתרגלו בהדרגה לעקרונות שלי ויקבלו אותם כאמת, לפני שישימו לב שלמעשה, הם הורסים את העקרונות של אריסטו."

תוצאת לוואי נוספת של הפילוסופיה שלו – אולי כזו שדקארט פחות צפה אותה – היא פגיעה אנושה בסמכות של הכנסייה הקתולית. אחת המסקנות הטבעיות שנובעות מהפילוסופיה של דקארט היא שתיאולוגיה דתית היא לא מקור לגיטימי לידע על העולם. דקארט עצמו היה דתי אדוק ולכן לא סביר שרצה לפגוע בכנסייה הנוצרית, אבל מעצם העובדה שטען שעל כל אדם לבחון בעצמו את העובדות והרעיונות שהוא מאמין בהם ולא לקבל כלשונן "אמיתות" שמופיעות בכתבים עתיקים – הוא די משך את השטיח מתחת לרגליים של הכנסיה הקתולית, שהכתבים העתיקים היו, בסופו של דבר, מקור הכוח שלה.

זאת ועוד, הפילוסופיה של דקארט – כמו זו של גלילאו – מסתמכת על כוחות פיזיקליים שמשפיעים על כל דבר בעולם. דהיינו – האבן נופלת לרצפה כי יש כוח שגורם לה ליפול – ולא מכיוון שהיא 'רוצה' להגיע לבטן האדמה. אם חושבים על זה לעומק, הטיעון הזה די מייתר את הצורך באלוהים שמכוון, באופן אישי, כל דבר וכל פרט בעולם שלנו. אם לכל תנועה וכל תופעה יש הסבר פיזיקלי ורציונלי, אלוהים הופך ללא-רלוונטי – אולי פרט לרגע הבריאה ולמה שקורה אחרי שאנחנו מתים. בלייז פסקל (Pascal), מתמטיקאי ופילוסוף צרפתי מבריק אחר, זיהה את המסקנה הטבעית הזו אליה מוליכות טענותיו של דקארט, וכתב כך –

"איני יכול לסלוח לדקארט. בפילוסופיה שלו, דקארט עשה כל שביכולתו להיפטר מאלוהים. [לדידו של דקארט] אלוהים יצר את העולם בנקישת אצבעו – אבל לאחר מכן, אין בו יותר צורך."

כפי שניתן לצפות, הכנסייה הנוצרית פסלה את הספרים של דקארט ואסרה על קריאתם – אבל זה לא עזר לה. את מפולת הספקנות שהחלה עוד שנים רבות לפני דקארט אי אפשר היה לעצור, ורעידת האדמה שיזם הפילוסוף הצרפתי רק האיצה והגבירה את המפולת הזו. במאות השנים שלאחר מכן הלך המדע והתעצב על פי תפיסתו של דקארט: הוכחה במקום אמונה, לוגיקה וניסוי במקום פניה לסמכות, מעבדות מחקר במקום נבירה בכתבי הקודש.

הגולגולת של דקארט

לדקארט היו לא מעט תומכים שקיבלו את הטענות שלו – אבל גם לא מעט אויבים שזעמו עליו. אפילו בהולנד הפלורליסטית יחסית, דקארט החל להרגיש שהקרקע תחת רגליו מתחילה לרעוד. באחת האוניברסיטאות הטילו חרם על כתביו, והויכוחים האקדמיים החלו להתרומם לכאלה טונים כעוסים, שלבסוף נאלץ הנסיך ההולנדי בכבודו ובעצמו להתערב כדי לבקש מהצדדים להמניך את גובה הלהבות.

ב-1649 פנתה אל רנה דקארט המלכה השבדית קריסטינה והציעה לו לעבור לגור בשבדיה. דקארט לא ממש התלהב מהרעיון, אבל בהינתן מצב העניינים הרעוע בהולנד – דקארט חשב שאולי כדאי להנמיך פרופיל לכמה שנים. על כן הוא הסכים, וספינת מלחמה שבדית נשלחה כדי לאסוף אותו ולהביא אותו לשטוקהולם.

התוכנית המקורית הייתה שדקארט יקים בשבדיה אקדמיה מדעית חדשה, וישמש כמורה פרטי למלכה. אבל בתור זמן קצר יחסית התברר שהוא וכריסטינה לא ממש מסתדרים: תחומי העניין שלהם היו שונים מאוד, ולא פחות גרוע – קריסטינה הייתה מלכה עסוקה, והזמן היחיד שיכלה להקדיש לשיעורים פרטיים מדקארט היה חמש בבוקר. כפי שציינתי, אם היה משהו אחד שדקארט הקפיד עליו בקנאות מאז שהיה ילד בבית הספר- זה לקום בשעה 11 בבוקר. אבל מלכה זו מלכה, ואתה לא ממש יכול לסרב לה – ולכן דקארט המסכן נאלץ לגרור את עצמו מהמיטה בשעות שבהן אפילו הציפורים עוד נוחרות על העצים.

בתחילת פברואר, 1650, רק כמה חודשים בלבד לאחר שהגיע לשבדיה – לקה דקארט בדלקת ריאות חמורה. יש הטוענים שההשכמה המוקדמת שסידרה לו המלכה קריסטינה היא זו שגרמה לכך שדקארט לא הצליח לעמוד בפני החורף הסקנדינבי הקפוא. אחרים משערים שאולי לא מדובר במחלה, אלא שמישהו בחצר המלכות השוודי הרעיל אותו, כחלק מאינטריגות פוליטיות כאלה ואחרות. תהא הסיבה אשר תהא, המחלה הכריעה את דקארט והוא הלך לעולמו כשהוא בן 53 שנה בלבד. הוא מעולם לא נישא,  והבת היחידה שנולדה לו – כתוצאה מרומן שניהל עם משרתת – מתה כשהייתה בת חמש בלבד.

דקארט נקבר בתחילה בשטוקהולם, אבל כעבור מספר שנים הוצאו עצמותיו מקברן ונשלחו לקבורה בצרפת, לבקשת הממשלה הצרפתית. כאן התרחש מאורע משונה ומעט מקברי: אחד החיילים שליוו את עצמותיו של דקארט בדרכם משבדיה לצרפת, החליט לגנוב את הגולגולת שלו: דקארט היה אדם מפורסם מאוד, והיו מי שהיו מוכנים לשלם ביד נאה עבור מזכרת מיוחדת שכזו. הגולגולת של דקארט התגלגלה מיד ליד ברחבי אירופה במשך למעלה ממאה וחמישים שנה, וחלק מהבעלים שלה לאורך השנים אפילו חרטו עליה את שמותיהם. לבסוף אותרה הגולגולת, והיא מוצגת היום במוזיאון צרפתי.

אפילוג

לרנה דקארט הייתה, אם כן, השפעה דרמטית על התפתחותו של המדע המודרני, והוא הותיר אחריו מורשת מדעית שכנראה תמשיך להשפיע על האנושות במשך אלפי שנים. אבל אם אתם מחפשים משהו קצת יותר קטן ואינטימי שאפשר ללמוד מחייו של דקארט, אני יכול להציע לכם מסקנה מעט שונה.

דקארט הספיק לעשות גדולות ונצורות במהלך ימי חייו, אבל אי אפשר להאשים אותו בחריצות יתרה, בלשון המעטה. כבר סיפרתי לכם שנהג להתעורר לקראת הצהריים, ומעדויות נוספות עושה רושם שדקארט לא ממש אהב לעבוד שעות ארוכות. הפילוסוף והמתמטיקאי ברטרנד ראסל כתב על דקארט:

"נדמה שנהג לעשות את עבודתו בפרצים קצרים של עבודה מאומצת ובריכוז גבוה. אבל אולי הוא רק העמיד פנים שעבד כה מעט, כדי לשמר מראית פנים של חובבן ג'נטלמני ותו לא – אחרת, קשה להסביר כיצד הגיע לכאלה הישגים."

ראסל, אם כן, חושב שאולי דקארט בכל זאת עבד קשה – ורק העמיד פנים אחרת. אבל אם לא נקבל את ההשערה של ראסל, אז אין מנוס מהמסקנה שדקארט, על כל גדולתו, היה קצת…עצלן. ואם דקארט הגדול היה קצת עצלן ובכל זאת הגיע לאן שהגיע, אז אולי יש תקווה לכולנו.

ביבליוגרפיה ומקורות

https://plato.stanford.edu/entries/descartes-works/

https://www.iep.utm.edu/descarte/

René Descartes (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

JOHN COTTINGHAM ON DESCARTES 1

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Descartes_schooling/

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Descartes_Method/

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Descartes_World/

https://www.maa.org/publications/periodicals/convergence/the-geometry-of-rene-descartes

https://www.youtube.com/watch?v=U4q5rEw3ZpY

https://simplycharly.com/blog/no-bones-about-it-rene-descartes-illness-revealed/

https://plato.stanford.edu/entries/descartes-mathematics/#LaGeo163

https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC5886445/

https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Allendoerfer/1996/0025570x.di021189.02p0130a.pdf

René Descartes (1596 – 1650) – Biography – MacTutor History of Mathematics

https://www.youtube.com/watch?v=S7H8R1PBrQI

http://www2.hawaii.edu/~freeman/courses/phil100/09.%20Descartes%20Meditations.pdf

https://www.jstor.org/stable/750999?read-now=1&refreqid=excelsior%3A60ac6c030adb8c48bfd0e311862b6ecc&seq=8#page_scan_tab_contents

http://www.f.waseda.jp/sidoli/Bos_Pappus_Problem.pdf

https://sites.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers2002/descartes.html

https://www.tau.ac.il/~corry/publications/books/pdf/Numbers%20-%20Chapter.pdf